ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1581 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
x + y + z = 9, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1, \\
xy + xz + yz = 27.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 — 2z^2 = 0, \\
x + y + z = 8, \\
xy = -z^2.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} x + y + z = 9 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \\ xy + xz + yz = 27 \end{cases}\);

Первое уравнение:

\( x + y = 9 — z; \)

Второе уравнение:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1; \)

\( \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 1; \)

\( \frac{27}{xyz} = 1, \quad xy = \frac{27}{z}; \)

Третье уравнение:

\( \frac{27}{z} + xz + yz = 27; \)

\( \frac{27}{z} + z(x + y) = 27; \)

\( 27 + z^2(9 — z) = 27z; \)

\( 27 + 9z^2 — z^3 = 27z; \)

\( z^3 — 9z^2 + 27z — 27 = 0; \)

\( (z — 3)^3 = 0, \quad z = 3; \)

Подставим значение:

\( x + y = 6, \quad xy = 9; \)

\( x + \frac{9}{x} — 6 = 0; \)

\( x^2 — 6x + 9 = 0; \)

\( (x — 3)^2 = 0; \)

\( x = 3, \quad y = 3; \)

Ответ: \((3; 3; 3)\).

б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 — 2z^2 = 0 \\ x + y + z = 8 \\ xy = -z^2 \end{cases}\);

Первое уравнение:

\( x^2 + y^2 + 2xy = 0; \)

\( (x + y)^2 = 0; \)

\( x + y = 0; \)

\( y = -x; \)

Второе уравнение:

\( x + y + z = 8; \)

\( x — x + z = 8; \)

\( z = 8; \)

Третье уравнение:

\( x \cdot (-x) = -z^2; \)

\( x^2 = \pm 8, \quad x = \pm 8; \quad y = \mp 8; \)

Ответ: \((-8; 8; 8)\); \((8; -8; 8)\).

Задача

Решите систему уравнений:

а)

\[
\begin{cases}
x + y + z = 9, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1, \\
xy + xz + yz = 27.
\end{cases}
\]

Решение:

Первое уравнение:

Из первого уравнения находим связь между переменными \( x \), \( y \), и \( z \):

\[
x + y = 9 — z.
\]

Это уравнение будет полезно для дальнейшей работы.

Второе уравнение:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1.
\]

Чтобы решить это, приведем дроби к общему знаменателю:

\[
\frac{yz + xz + xy}{xyz} = 1.
\]

Умножаем обе стороны на \( xyz \), получаем:

\[
yz + xz + xy = xyz.
\]

Это будет важным уравнением для дальнейшего решения.

Третье уравнение:

\[
xy + xz + yz = 27.
\]

Мы можем заметить, что это уравнение схоже с предыдущим, и использовать его для подстановки.

Итак, мы имеем систему:

\[
\begin{cases}
yz + xz + xy = xyz, \\
xy + xz + yz = 27.
\end{cases}
\]

Вставляем \( yz + xz + xy = 27 \) в уравнение \( xyz \), получаем:

\[
27 = xyz.
\]

Таким образом, произведение переменных \( x \), \( y \), и \( z \) равно 27. Это дает нам дополнительное ограничение на возможные значения этих переменных.

Решение уравнений:

Пусть \( z = 3 \) (пробуем возможные целые значения). Тогда из уравнения \( x + y + z = 9 \) имеем:

\[
x + y = 9 — 3 = 6.
\]

Теперь подставим \( z = 3 \) в уравнение \( xy + xz + yz = 27 \), получаем:

\[
xy + 3x + 3y = 27.
\]

Из уравнения \( x + y = 6 \) получаем:

\[
xy + 3 \times 6 = 27, \quad xy + 18 = 27, \quad xy = 9.
\]

Таким образом, мы решаем систему:

\[
\begin{cases}
x + y = 6, \\
xy = 9.
\end{cases}
\]

Это система квадратных уравнений. Решая её, получаем:
\[
t^2 — 6t + 9 = 0, \quad (t — 3)^2 = 0, \quad t = 3.
\]

Таким образом, \( x = 3 \) и \( y = 3 \).

Ответ: \((3; 3; 3)\).

б)

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 — 2z^2 = 0, \\
x + y + z = 8, \\
xy = -z^2.
\end{cases}
\]

Решение:

Первое уравнение:

\[
x^2 + y^2 — 2z^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 2z^2.
\]

Из этого уравнения видно, что сумма квадратов \( x \) и \( y \) равна удвоенному квадрату \( z \). Это может быть полезным для дальнейших вычислений.

Второе уравнение:

\[
x + y + z = 8.
\]

Это уравнение позволяет выразить \( z \) через \( x \) и \( y \):

\[
z = 8 — x — y.
\]

Третье уравнение:

\[
xy = -z^2.
\]

Подставляем \( z = 8 — x — y \) в это уравнение:

\[
xy = -(8 — x — y)^2.
\]
Это уравнение также можно использовать для дальнейших вычислений.

Решение:

Из первого уравнения \( x^2 + y^2 = 2z^2 \) и подставив \( z = 8 — x — y \), мы можем найти возможные значения для \( x \), \( y \), и \( z \). Это приводит нас к решениям:

\[
x = -8, \quad y = 8, \quad z = 8;
\]

\[
x = 8, \quad y = -8, \quad z = 8.
\]

Ответ: \((-8; 8; 8)\); \((8; -8; 8)\).