ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1580 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющие системе:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19.
\end{cases}
\]

Найти натуральные числа:

\( \begin{cases} x + y + z = 14 \\ x + yz = 19 \end{cases}; \)

1) Разность уравнений:

\( x — x + yz — y — z = 19 — 14; \)

\( yz — y — z = 5, \quad z(y — 1) — y = 5; \)

\( z(y — 1) = (y — 1) + 6; \)

2) Пусть \( n = y — 1 \), тогда:

\( zn = n + 6, \quad z = \frac{n + 6}{n} = 1 + \frac{6}{n}; \)

3) Возможные значения:

\( n = 1, \quad z = 7, \quad y = 2, \quad x = 5; \)

\( n = 2, \quad z = 4, \quad y = 3, \quad x = 7; \)

\( n = 3, \quad z = 3, \quad y = 4, \quad x = 7; \)

\( n = 6, \quad z = 2, \quad y = 7, \quad x = 5; \)

Ответ: \((5; 7; 2)\); \((7; 4; 3)\); \((7; 3; 4)\); \((5; 2; 7)\).

Задача

Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющие системе:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 14, \\
x + yz = 19.
\end{cases}
\]

Решение

Шаг 1: Разность уравнений

Для упрощения решения вычитаем первое уравнение из второго:

\[
\left( x + yz \right) — (x + y + z) = 19 — 14;
\]

Получаем:

\[
x — x + yz — y — z = 5 \quad \Rightarrow \quad yz — y — z = 5;
\]

Шаг 2: Переписываем уравнение

Мы можем упростить это уравнение:

\[
z(y — 1) — y = 5 \quad \Rightarrow \quad z(y — 1) = (y — 1) + 6;
\]

Теперь разделим обе стороны на \( y — 1 \), получаем:

\[
z = 1 + \frac{6}{y — 1};
\]

Шаг 3: Введение переменной \( n \)

Пусть \( n = y — 1 \), тогда из предыдущего уравнения:

\[
z = 1 + \frac{6}{n};
\]

Теперь \( z \) выражается через \( n \), и мы можем исследовать возможные значения \( n \), поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, и \( y = n + 1 \) тоже должно быть натуральным числом. Рассмотрим несколько вариантов:

Шаг 4: Возможные значения \( n \)

1) Для \( n = 1 \):

\[
z = 1 + \frac{6}{1} = 7, \quad y = 2, \quad x = 5.
\]

Подставляем \( y = 2 \) и \( z = 7 \) в исходные уравнения:

Первое уравнение: \( x + y + z = 14 \) при \( x = 5, y = 2, z = 7 \):

\[
5 + 2 + 7 = 14, \quad \text{это верно.}
\]

Второе уравнение: \( x + yz = 19 \) при \( x = 5, y = 2, z = 7 \):

\[
5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = 19, \quad \text{это также верно.}
\]

2) Для \( n = 2 \):

\[
z = 1 + \frac{6}{2} = 4, \quad y = 3, \quad x = 7.
\]

Проверяем эти значения в уравнениях:

Первое уравнение: \( x + y + z = 14 \) при \( x = 7, y = 3, z = 4 \):

\[
7 + 3 + 4 = 14, \quad \text{это верно.}
\]

Второе уравнение: \( x + yz = 19 \) при \( x = 7, y = 3, z = 4 \):

\[
7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19, \quad \text{это также верно.}
\]

3) Для \( n = 3 \):

\[
z = 1 + \frac{6}{3} = 3, \quad y = 4, \quad x = 7.
\]

Проверяем эти значения в уравнениях:

Первое уравнение: \( x + y + z = 14 \) при \( x = 7, y = 4, z = 3 \):

\[
7 + 4 + 3 = 14, \quad \text{это верно.}
\]

Второе уравнение: \( x + yz = 19 \) при \( x = 7, y = 4, z = 3 \):

\[
7 + 4 \times 3 = 7 + 12 = 19, \quad \text{это также верно.}
\]

4) Для \( n = 6 \):

\[
z = 1 + \frac{6}{6} = 2, \quad y = 7, \quad x = 5.
\]

Проверяем эти значения в уравнениях:

Первое уравнение: \( x + y + z = 14 \) при \( x = 5, y = 7, z = 2 \):

\[
5 + 7 + 2 = 14, \quad \text{это верно.}
\]

Второе уравнение: \( x + yz = 19 \) при \( x = 5, y = 7, z = 2 \):

\[
5 + 7 \times 2 = 5 + 14 = 19, \quad \text{это также верно.}
\]

Ответ:

Все возможные тройки чисел, удовлетворяющие системе уравнений:

(5, 7, 2)

(7, 4, 3)

(7, 3, 4)

(5, 2, 7)