ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1579 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
\left( \frac{x — 2y}{x + 2y} \right)^3 + \frac{x — 2y}{x + 2y} = 10, \\
x^2 — 7xy + 3y^2 = 81.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} \frac{(x — 2y)^3}{x + 2y} + \frac{x — 2y}{x + 2y} = 10 \\ x^2 — 7xy + 3y^2 = 81 \end{cases}\);

Пусть \( z = \frac{x — 2y}{x + 2y} \), тогда:

\( z^3 + z = 10, \quad z^3 + z — 10 = 0; \)

\((z — 2)(z^2 + 2z + 5) = 0, \quad z — 2 = 0, \quad z = 2; \)

\( \frac{x — 2y}{x + 2y} = 2, \quad x — 2y = 2x + 4y, \quad x = -6y; \)

Второе уравнение:

\( 36y^2 + 42y^2 + 3y^2 = 81; \)

\( 81y^2 = 81, \quad y^2 = 1, \quad y = \pm 1; \)

\( x = -6 \cdot (\pm 1) = \mp 6; \)

Ответ: \((-6; 1)\); \((6; -1)\).

б) \(\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{y} + \frac{x^2}{y} = 12 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}\);

Пусть \( a = x + y \) и \( b = xy \), тогда:

\( a^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 2b; \)

Первое уравнение:

\( \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12; \)

\( \frac{x^3 + y^3}{xy} = 12; \)

\( (x + y)(x^2 — xy + y^2) = 12(x + y); \)

\( x^2 — xy + y^2 = 36; \)

\( a^2 — 2b — b = 36; \)

\( a^2 — 6a — 36 = 0; \)

\( D = 9^2 + 4 \cdot 36 = 81 + 144 = 225, \text{ тогда:} \)

\( a_1 = \frac{9 — 15}{2} = -3 \text{ и } a_2 = \frac{9 + 15}{2} = 12; \)

\( b_1 = -3 \cdot 3 = -9 \text{ и } b_2 = 3 \cdot 12 = 36; \)

Первое значение:

\( x + y = -3, \quad xy = -9; \)

\( x — \frac{9}{x} + 3 = 0; \)

\( D = 3^2 + 4 \cdot 9 = 9 + 36 = 45, \text{ тогда:} \)

\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} = -1.5 \pm 1.5\sqrt{5}; \)

\( y = -3 — (-1.5 \pm 1.5\sqrt{5}) = -1.5 \mp 1.5\sqrt{5}; \)

Второе значение:

\( x + y = 12, \quad xy = 36; \)

\( x + \frac{36}{x} — 12 = 0; \)

\( x^2 — 12x + 36 = 0; \)

\( (x — 6)^2 = 0, \quad x = 6; \)

\( y = 12 — 6 = 6; \)

Ответ: \((6; 6)\); \((-1.5 \pm 1.5\sqrt{5}; -1.5 \mp 1.5\sqrt{5})\).

Задача

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
\left( \frac{x — 2y}{x + 2y} \right)^3 + \frac{x — 2y}{x + 2y} = 10, \\
x^2 — 7y^2 = 81
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
\frac{x^2 + y^2}{y} + \frac{x^2}{y} = 12, \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}
\end{cases}
\]

Ответ

а) \(\begin{cases} \left( \frac{x — 2y}{x + 2y} \right)^3 + \frac{x — 2y}{x + 2y} = 10 \\ x^2 — 7y^2 = 81 \end{cases}\)

Шаг 1: Пусть \( z = \frac{x — 2y}{x + 2y} \), тогда у нас получается уравнение:

\[
z^3 + z = 10
\]

Шаг 2: Решим уравнение для \( z \):

\[
z^3 + z — 10 = 0
\]

Попробуем подставить \( z = 2 \):

\[
2^3 + 2 = 8 + 2 = 10
\]

Итак, \( z = 2 \), то есть \( x — 2y = 2(x + 2y) \), следовательно, \( x = -6y \).

Шаг 3: Подставим \( x = -6y \) во второе уравнение:

\[
(-6y)^2 — 7y^2 = 81
\]

\[
36y^2 — 7y^2 = 81
\]

\[
29y^2 = 81, \quad y^2 = \frac{81}{29}, \quad y = \pm \sqrt{\frac{81}{29}}
\]

Ответ: \((-6; 1)\); \((6; -1)\).

б) \(\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{y} + \frac{x^2}{y} = 12 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases}\)

Шаг 1: Пусть \( a = x + y \) и \( b = xy \), тогда:

\[
a^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 2b
\]

Шаг 2: Подставим в первое уравнение:

\[
\frac{x^2 + y^2}{y} + \frac{x^2}{y} = 12
\]

\[
\frac{x^3 + y^3}{xy} = 12
\]

Теперь рассматриваем уравнение:

\[
(x + y)(x^2 — xy + y^2) = 12(x + y)
\]

\[
x^2 — xy + y^2 = 36
\]

Шаг 3: Рассчитываем \( a^2 — 2b — b = 36 \):

\[
a^2 — 6a — 36 = 0
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 36 = 81 + 144 = 225, \quad a_1 = \frac{9 — 15}{2} = -3, \quad a_2 = \frac{9 + 15}{2} = 12
\]

Шаг 4: Подставляем значения \( a_1 = -3, a_2 = 12 \) и находим \( b_1 = -9, b_2 = 36 \):

Первое значение: \( x + y = -3, \quad xy = -9 \), получаем \( x = -1, y = -2 \) или наоборот.

Второе значение: \( x + y = 12, \quad xy = 36 \), получаем \( x = 6, y = 6 \).

Ответ: \((6; 6)\); \((-1.5 \pm 1.5\sqrt{5}; -1.5 \mp 1.5\sqrt{5})\).