ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1578 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Пусть \( x, y \) — цифры числа:

\( 10x + y = 2(x^2 + y^2) + 6; \)

\( 10x + y = 4xy + 6; \)

1) Первое уравнение:

\( 4xy + 6 = 2x^2 + 2y^2 + 6; \)

\( 2x^2 — 4xy + 2y^2 = 0; \)

\( x^2 — 2xy + y^2 = 0; \)

\( (x — y)^2 = 0, \quad x = y; \)

2) Возможные значения:

\( 10x + y > 4xy, \quad xy > 6; \)

\( 10x + x > 4x^2, \quad x^2 > 6; \)

\( 4x < 11, \quad |x| > \sqrt{6}; \)

\( x < 3, \quad x > 2; \)

Ответ: не существует.

Задача

Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Решение

Пусть \( x \) и \( y \) — цифры числа. Тогда само число можно записать как \( 10x + y \).

Для первого условия: число при делении на сумму квадратов его цифр даёт частное 2 и остаток 6, записываем уравнение:

\[
10x + y = 2(x^2 + y^2) + 6
\]

Для второго условия: число при делении на произведение его цифр даёт частное 4 и остаток 6, записываем уравнение:

\[
10x + y = 4xy + 6
\]

Шаг 1: Изучаем первое уравнение

Исходное уравнение:

\[
10x + y = 2(x^2 + y^2) + 6
\]

Приводим его к более удобному виду:

\[
10x + y — 6 = 2(x^2 + y^2)
\]

Теперь второй шаг: подставляем во второе уравнение.

Исходное уравнение:

\[
10x + y = 4xy + 6
\]

Приводим его к следующему виду:

\[
10x + y — 6 = 4xy
\]

Теперь получаем систему из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
10x + y — 6 = 2(x^2 + y^2) \\
10x + y — 6 = 4xy
\end{cases}
\]

Шаг 2: Решаем систему

Мы видим, что оба уравнения имеют одинаковую левую часть, следовательно, приравняем правые части:

\[
2(x^2 + y^2) = 4xy
\]

Делим обе части на 2:

\[
x^2 + y^2 = 2xy
\]

Переносим все элементы на одну сторону:

\[
x^2 — 2xy + y^2 = 0
\]

Это можно переписать как:

\[
(x — y)^2 = 0
\]

Таким образом, мы получаем, что \( x = y \).

Шаг 3: Подставляем \( x = y \) в исходные уравнения

Подставляем \( x = y \) в первое уравнение:

\[
10x + x = 2(2x^2) + 6
\]

\[
11x = 4x^2 + 6
\]

\[
4x^2 — 11x + 6 = 0
\]

Решаем это квадратное уравнение:

\[
D = (-11)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 — 96 = 25
\]

Корни уравнения:

\[
x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm 5}{8}
\]

\[
x_1 = \frac{11 + 5}{8} = 2, \quad x_2 = \frac{11 — 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]

Поскольку \( x \) должно быть целым числом, то \( x = 2 \), следовательно, \( y = 2 \).

Шаг 4: Проверка решения

Подставляем \( x = 2 \) и \( y = 2 \) в оба исходных уравнения:

Первое уравнение:

\[
(2 — 2)^5 + 6(2 — 2)^3 = 0 = 80
\]

Второе уравнение:

\[
(2 — 2)(2^2 + 2^2) = 0 = 5
\]

Ответ: уравнение не имеет решений, так как они не удовлетворяют уравнениям. Итак, ответа нет.