ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1577 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
(x — y)^5 + 6(x — y)^3 = 80, \\
x^2 — 3y^2 = 1.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
y^2 = x^3 — 3x^2 + 2x, \\
x^2 = y^3 — 3y^2 + 2y.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} (x — y)^5 + 6(x — y)^3 = 80 \\ x^2 — 3y^2 = 1 \end{cases}\)

Пусть \( z = x — y \), тогда:

\( z^5 + 6z^3 = 80; \)

\( z^5 + 6 \cdot z^3 = 80; \)

\( z = x — y = 2; \)

\( y = x — 2; \)

Второе уравнение:

\( x^2 — 3(x — 2)^2 = 1; \)

\( x^2 — 3(x^2 — 4x + 4) = 1; \)

\( x^2 — 3x^2 + 12x — 12 = 1; \)

\( 2x^2 — 12x + 13 = 0; \)

\( D = 12^2 — 4 \cdot 2 \cdot 13 = 144 — 104 = 40, \text{тогда:} \)

\( x = \frac{12 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{10}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{10}}{2}; \)

\( y = \frac{6 \pm \sqrt{10}}{2} — 2 = \frac{6 \pm \sqrt{10} — 4}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}; \)

Ответ: \(\left(\frac{6 + \sqrt{10}}{2}; \frac{2 + \sqrt{10}}{2}\right); \left(\frac{6 — \sqrt{10}}{2}; \frac{2 — \sqrt{10}}{2}\right)\).

б) \(\begin{cases} y^2 = x^3 — 3x^2 + 2x \\ x^2 = y^3 — 3y^2 + 2y \end{cases}\)

Область определения:

\( z^3 — 3z^2 + 2z \geq 0; \)

\( z(z^2 — 3z + 2) \geq 0; \)

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:} \)

\( z_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)

\( z(z — 1)(z — 2) \geq 0; \)

\( 0 \leq z \leq 1, \quad z \geq 2; \)

Разность уравнений:

\( y^2 — x^2 = x^3 — y^3 — 3x^2 + 3y^2 + 2x — 2y; \)

\( (x — y)(x^2 + xy + y^2) + 2(x — y)(1 — x — y) = 0; \)

\( (x — y)((x — 1)^2 + (y — 1)^2 + xy) = 0; \)

\( x — y = 0, \quad y = x; \)

Второе уравнение:

\( x^2 = x^3 — 3x^2 + 2x; \)

\( x^3 — 4x^2 + 2x = 0; \)

\( x(x^2 — 4x + 2) = 0; \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8, \text{тогда:} \)

\( x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}; \)

Ответ: \((0; 0); \left(2 — \sqrt{2}; 2 — \sqrt{2}\right); \left(2 + \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}\right)\).

Задача

Решите систему уравнений:

• а)
  \[
  \begin{cases}
  (x — y)^5 + 6(x — y)^3 = 80, \\
  x^2 — 3y^2 = 1
  \end{cases}
  \]
• б)
  \[
  \begin{cases}
  y^2 = x^3 — 3x^2 + 2x, \\
  x^2 = y^3 — 3y^2 + 2y
  \end{cases}
  \]

Ответ

а) \(\begin{cases} (x — y)^5 + 6(x — y)^3 = 80 \\ x^2 — 3y^2 = 1 \end{cases}\):

Шаг 1: Пусть \( z = x — y \), тогда:

\[
z^5 + 6z^3 = 80
\]

Шаг 2: Решим для \( z \):

\[
z^5 + 6z^3 = 80
\]

Попробуем подставить \( z = 2 \):

\[
2^5 + 6 \cdot 2^3 = 32 + 48 = 80
\]

Итак, \( z = 2 \), то есть \( x — y = 2 \), откуда \( y = x — 2 \).

Шаг 3: Подставим \( y = x — 2 \) во второе уравнение:

\[
x^2 — 3(x — 2)^2 = 1
\]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим:

\[
x^2 — 3(x^2 — 4x + 4) = 1
\]

\[
x^2 — 3x^2 + 12x — 12 = 1
\]

\[
-2x^2 + 12x — 13 = 0
\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение для \( x \):

\[
2x^2 — 12x + 13 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = (-12)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 13 = 144 — 104 = 40
\]

Шаг 6: Находим корни уравнения:

\[
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{10}}{2}
\]

Шаг 7: Находим значения \( y \), используя \( y = x — 2 \):

\[
y = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}
\]

Ответ: \( \left( \frac{6 + \sqrt{10}}{2}, \frac{2 + \sqrt{10}}{2} \right) \) и \( \left( \frac{6 — \sqrt{10}}{2}, \frac{2 — \sqrt{10}}{2} \right) \)

б) \(\begin{cases} y^2 = x^3 — 3x^2 + 2x, \\ x^2 = y^3 — 3y^2 + 2y \end{cases}\):

Шаг 1: Рассмотрим уравнение для \( y \): \( y^2 = x^3 — 3x^2 + 2x \).

Рассмотрим факторизацию этого выражения:

\[
x^3 — 3x^2 + 2x = x(x^2 — 3x + 2)
\]

Мы видим, что это выражение может быть переписано как:

\[
x(x — 1)(x — 2)
\]

Шаг 2: Аналогично решим для \( x \):

\[
x^2 = y^3 — 3y^2 + 2y = y(y — 1)(y — 2)
\]

Шаг 3: Теперь найдём области определения. У нас получается, что:

\[
z^3 — 3z^2 + 2z \geq 0
\]

Решим это неравенство:

\[
z(z^2 — 3z + 2) \geq 0
\]

Решаем квадратное неравенство:

\[
z(z — 1)(z — 2) \geq 0
\]

Шаг 4: Получаем, что \( z \) должно быть в интервале \( [0, 1] \cup [2, \infty) \).

Шаг 5: Теперь решим разность уравнений:

\[
y^2 — x^2 = x^3 — y^3 — 3x^2 + 3y^2 + 2x — 2y
\]

Это можно записать как:

\[
(x — y)(x^2 + xy + y^2) + 2(x — y)(1 — x — y) = 0
\]

Далее получаем:

\[
(x — y)((x — 1)^2 + (y — 1)^2 + xy) = 0
\]

Таким образом, \( x = y \).

Шаг 6: Подставим \( x = y \) в уравнение \( x^3 — 4x^2 + 2x = 0 \):

\[
x(x^2 — 4x + 2) = 0
\]

Решаем это уравнение для \( x \):

\[
x = 0, \quad x^2 — 4x + 2 = 0
\]

Дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8
\]

Шаг 7: Находим корни для \( x \):

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}
\]

Ответ: \( (0, 0); (2 — \sqrt{2}, 2 — \sqrt{2}); (2 + \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) \).