ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1576 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
(x + y)(x^2 — y^2) = 9, \\
(x — y)(x^2 + y^2) = 5.
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
(x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10, \\
(x + y)(xy — 1) = 3.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} (x + y)(x^2 — y^2) = 9 \\ (x — y)(x^2 + y^2) = 5 \end{cases}\)

Частное уравнений:

\( \frac{(x + y)(x^2 — y^2)}{(x — y)(x^2 + y^2)} = \frac{9}{5}; \)

\( \frac{(x^2 + 2xy + y^2)(x — y)}{(x — y)(x^2 + y^2)} = \frac{9}{5}; \)

\( 5x^2 + 10xy + 5y^2 = 9x^2 + 9y^2; \)

\( 4x^2 — 10xy + 4y^2 = 0, \quad 2x^2 — 5xy + 2y^2 = 0; \)

\( D = (5y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2y^2 = 25y^2 — 16y^2 = 9y^2, \text{тогда:} \)

\( x_1 = \frac{5y — 3y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5y + 3y}{2 \cdot 2} = \frac{8y}{4} = 2y; \)

Первое значение:

\( \left(\frac{y}{2} + y\right)\left(\frac{y^2}{4} — y^2\right) = 9; \)

\( \frac{3y}{2} \cdot \left(-\frac{3y^2}{4}\right) = 9; \)

\( \frac{9y^3}{8} = -9, \quad y^3 = -8; \)

\( y = -2, \quad x = -1; \)

Второе значение:

\( (2y + y)(4y^2 — y^2) = 9; \)

\( 3y \cdot 3y^2 = 9, \quad 9y^3 = 9; \)

\( y^3 = 1, \quad y = 1, \quad x = 2; \)

Ответ: \((-1; -2); (2; 1)\).

б) \(\begin{cases} (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10 \\ (x + y)(xy — 1) = 3 \end{cases}\)

Пусть \( a = x + y \) и \( b = xy \), тогда:

\( a^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 2b; \)

Второе уравнение:

\( a(b — 1) = 3; \)

\( a = \frac{3}{b — 1}; \)

Первое уравнение:

\( x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 10; \)

\( b^2 + a^2 — 2b — 9 = 0; \)

\( b^2(b — 1)^2 + 9 — (2b + 9)(b^2 — 2b + 1) = 0; \)

\( b^4 — 4b^3 — 4b^2 + 16 = 0; \)

\( (b + 2)b(b — 2)(b — 4) = 0; \)

\( b_1 = -2, \quad b_2 = 0, \quad b_3 = 2, \quad b_4 = 4; \)

\( a_1 = -1, \quad a_2 = -3, \quad a_3 = 3, \quad a_4 = 1; \)

Первое значение:

\( x + y = -1, \quad xy = -2; \)

\( x_1 = 1, \quad y_1 = -2; \)

\( x_2 = -2, \quad y_2 = 1; \)

Второе значение:

\( x + y = -3, \quad xy = 0; \)

\( x_1 = 0, \quad y_1 = -3; \)

\( x_2 = -3, \quad y_2 = 0; \)

Третье значение:

\( x + y = 3, \quad xy = 2; \)

\( x_1 = 1, \quad y_1 = 2; \)

\( x_2 = 2, \quad y_2 = 1; \)

Четвертое значение:

\( x + y = 1, \quad xy = 4; \)

Ответ: \((1; -2); (-2; 1); (0; -3); (-3; 0); (1; 2); (2; 1)\).

Задача

Решите систему уравнений:

• а)
  \[
  \begin{cases}
  (x + y)(x^2 — y^2) = 9, \\
  (x — y)(x^2 + y^2) = 5
  \end{cases}
  \]
• б)
  \[
  \begin{cases}
  (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10, \\
  (x + y)(xy — 1) = 3
  \end{cases}
  \]

Ответ

а) \(\begin{cases} (x + y)(x^2 — y^2) = 9 \\ (x — y)(x^2 + y^2) = 5 \end{cases}\):

Шаг 1: Преобразуем обе части уравнения. Начнем с деления первого уравнения на второе:

\[
\frac{(x + y)(x^2 — y^2)}{(x — y)(x^2 + y^2)} = \frac{9}{5}
\]

Шаг 2: Раскроем множители и упростим выражение. Используем следующее разложение:

\[
\frac{(x^2 + 2xy + y^2)(x — y)}{(x — y)(x^2 + y^2)} = \frac{9}{5}
\]

После сокращения получаем:

\[
\frac{5x^2 + 10xy + 5y^2}{9x^2 + 9y^2} = 1
\]

Шаг 3: Приводим все к более простому виду:

\[
4x^2 — 10xy + 4y^2 = 0
\]

Перепишем это уравнение:

\[
2x^2 — 5xy + 2y^2 = 0
\]

Шаг 4: Рассчитываем дискриминант для этого квадратного уравнения:

\[
D = (5y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2y^2 = 25y^2 — 16y^2 = 9y^2
\]

Таким образом, дискриминант равен \( 9y^2 \), что всегда неотрицательно. Теперь найдем корни:

\[
x_1 = \frac{5y — 3y}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}, \quad x_2 = \frac{5y + 3y}{4} = \frac{8y}{4} = 2y
\]

Шаг 5: Подставим эти значения в исходное уравнение:

Для первого значения \( x = \frac{y}{2} \) и \( y = -2 \), получаем \( x = -1 \).

Для второго значения \( x = 2y \) и \( y = 1 \), получаем \( x = 2 \).

Ответ для первой части: \( (-1, -2) \) и \( (2, 1) \)

б) \(\begin{cases} (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10, \\ (x + y)(xy — 1) = 3 \end{cases}\):

Шаг 1: Пусть \( a = x + y \) и \( b = xy \), тогда:

\[
a^2 = x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2 + 2b
\]

Шаг 2: Рассмотрим второе уравнение:

\[
a(b — 1) = 3
\]

Получаем:

\[
a = \frac{3}{b — 1}
\]

Шаг 3: Подставим это выражение в первое уравнение:

\[
x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 10
\]

\[
b^2 + a^2 — 2b — 9 = 0
\]

Шаг 4: Преобразуем это уравнение:

\[
b^2(b — 1)^2 + 9 — (2b + 9)(b^2 — 2b + 1) = 0
\]

Шаг 5: Упрощаем выражение:

\[
b^4 — 4b^3 — 4b^2 + 16 = 0
\]

Шаг 6: Рассчитаем дискриминант для этого уравнения:

Шаг 7: Находим корни для \( b \):

\[
b_1 = -2, \quad b_2 = 0, \quad b_3 = 2, \quad b_4 = 4
\]

Шаг 8: Находим значения для \( a \):

\[
a_1 = -1, \quad a_2 = -3, \quad a_3 = 3, \quad a_4 = 1
\]

Шаг 9: Подставляем значения \( a \) и \( b \) и находим пары \( x \) и \( y \):

Первое значение: \( x + y = -1, \quad xy = -2 \), получаем пары \( (1, -2) \) и \( (-2, 1) \).

Второе значение: \( x + y = -3, \quad xy = 0 \), получаем пары \( (0, -3) \) и \( (-3, 0) \).

Третье значение: \( x + y = 3, \quad xy = 2 \), получаем пары \( (1, 2) \) и \( (2, 1) \).

Четвертое значение: \( x + y = 1, \quad xy = 4 \), решаем для \( x \) и \( y \).

Ответ для второй части: \( (1, -2); (-2, 1); (0, -3); (-3, 0); (1, 2); (2, 1)\)