ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1574 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите:

а) все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению \( 2xy = x^2 + 2y \);

б) все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению \( x^4 — 4xy + y^4 + 2 = 0 \).

Найти пары целых чисел:

а) \( 2xy = x^2 + 2y; \)

\( 2xy — x^2 = 2y; \)

\( x(2y — x) = 2y; \)

\( x(2y — x — 1) = 2y — x; \)

Пусть \( n = 2y — x \), тогда:

\( y = \frac{n + x}{2}, \quad x(n — 1) = n; \)

\( x = \frac{n}{n — 1} = 1 + \frac{1}{n — 1}; \)

\( n — 1 = 1, \quad n = 2; \)

\( x = 2, \quad y = 2; \)

Ответ: \((2; 2)\).

б) \( x^4 — 4xy + y^4 + 2 = 0; \)

\( x^4 + 1 + y^4 + 1 — 4xy = 0; \)

\( z^4 — 2z^2 + 1 \geq 0, \quad z^4 + 1 \geq 2z^2; \)

\( 2(x^2 — 2xy + y^2) = 0; \)

\( 2(x — y)^2 = 0, \quad x = y; \)

\( x^4 — 4x^2 + x^4 + 2 = 0; \)

\( 2x^4 — 4x^2 + 2 = 0; \)

\( x^4 — 2x^2 + 1 = 0; \)

\( (x^2 — 1)^2 = 0; \)

\( x^2 = 1, \quad y = x = \pm 1; \)

Ответ: \((-1; -1); (1; 1)\).

Задача

Найдите:

• а) все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению \( 2xy = x^2 + 2y \);
• б) все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению \( x^4 — 4xy + y^4 + 2 = 0 \).

Ответ

а) \( 2xy = x^2 + 2y \):

1. Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
2xy — x^2 = 2y
\]

2. Перепишем уравнение в виде произведения:

\[
x(2y — x) = 2y
\]

3. Дальше преобразуем:

\[
x(2y — x — 1) = 2y — x
\]

4. Пусть \( n = 2y — x \), тогда:

\[
y = \frac{n + x}{2}, \quad x(n — 1) = n
\]

5. Упростим:

\[
x = \frac{n}{n — 1} = 1 + \frac{1}{n — 1}
\]

6. Решаем для \( n — 1 = 1 \), получаем:

\[
n = 2
\]

7. Таким образом, \( x = 2 \) и \( y = 2 \).

Ответ для а): \( (2, 2) \)

б) \( x^4 — 4xy + y^4 + 2 = 0 \):

1. Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
x^4 + 1 + y^4 + 1 — 4xy = 0
\]

2. Получаем:

\[
z^4 — 2z^2 + 1 \geq 0, \quad z^4 + 1 \geq 2z^2
\]

3. Преобразуем:

\[
2(x^2 — 2xy + y^2) = 0
\]

4. Получаем, что \( x = y \):

\[
2(x — y)^2 = 0, \quad x = y
\]

5. Подставляем \( x = y \) в исходное уравнение:

\[
x^4 — 4x^2 + x^4 + 2 = 0
\]

6. Упростим:

\[
2x^4 — 4x^2 + 2 = 0
\]

7. Дальше решаем квадратное уравнение:

\[
x^4 — 2x^2 + 1 = 0
\]

8. Преобразуем:

\[
(x^2 — 1)^2 = 0
\]

9. Получаем, что \( x^2 = 1 \), и \( y = x = \pm 1 \).

Ответ для б): \( (-1, -1); (1, 1) \)