ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1573 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) любое значение функции

\[
f(x) = \frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1}
\]

принадлежит промежутку \( (-9; 6) \)?

Задана функция:

\( -9 < f(x) < 6; \)

\( f(x) = \frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1}; \)

1) Значения больше:

\( \frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1} > -9; \)

\( 3x^2 + ax — 6 > 9x — 9x^2 — 9; \)

\( 12x^2 + (a — 9)x + 3 > 0; \)

\( D = (a — 9)^2 — 4 \cdot 12 \cdot 3 < 0; \)

\( a^2 — 18a + 81 — 144 < 0; \)

\( a^2 — 18a — 63 < 0; \)

\( D = 18^2 + 4 \cdot 63 = 324 + 252 = 576, \text{тогда:} \)

\( a_1 = \frac{18 — 24}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{18 + 24}{2} = 21; \)

\( (a + 3)(a — 21) < 0; \)

\( -3 < a < 21; \)

2) Значения меньше:

\( \frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1} < 6; \)

\( 3x^2 + ax — 6 < 6x^2 — 6x + 6; \)

\( 3x^2 — (a + 6)x + 12 > 0; \)

\( D = (a + 6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 < 0; \)

\( a^2 + 12a — 108 < 0; \)

\( D = 12^2 + 4 \cdot 108 = 144 + 432 = 576, \text{тогда:} \)

\( a_1 = \frac{-12 — 24}{2} = -18 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-12 + 24}{2} = 6; \)

\( (a + 18)(a — 6) < 0; \)

\( -18 < a < 6; \)

Ответ: \( a \in (-3; 6). \)

Задача

При каких значениях \( a \) любое значение функции

\[
f(x) = \frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1}
\]

принадлежит промежутку \( (-9; 6) \)?

Ответ

Задана функция:

\[
f(x) = \frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1}
\]

1. У нас есть неравенства для значений функции, которые должны быть больше \( -9 \) и меньше \( 6 \), т.е.:

\[
-9 < f(x) < 6
\]

1. Значения больше:

Мы начинаем с неравенства:

\[
\frac{3x^2 + ax — 6}{x^2 — x + 1} > -9
\]

2. Умножаем обе части неравенства на \( x^2 — x + 1 \) (что всегда положительно для любого \( x \)):

\[
3x^2 + ax — 6 > -9(x^2 — x + 1)
\]

3. Раскроем скобки и упростим:

\[
3x^2 + ax — 6 > -9x^2 + 9x — 9
\]

4. Переносим все слагаемые в одну сторону:

\[
12x^2 + (a — 9)x + 3 > 0
\]

5. Рассчитываем дискриминант этого квадратного неравенства:

\[
D = (a — 9)^2 — 4 \cdot 12 \cdot 3 < 0
\]

6. Упрощаем дискриминант:

\[
D = a^2 — 18a + 81 — 144 < 0
\]

\[
a^2 — 18a — 63 < 0
\]

7. Рассчитываем дискриминант этого квадратного уравнения:

\[
D = 18^2 + 4 \cdot 63 = 324 + 252 = 576
\]

8. Находим корни:

\[
a_1 = \frac{18 — 24}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{18 + 24}{2} = 21
\]

9. Решаем неравенство:

\[
(a + 3)(a — 21) < 0
\]

10. Получаем решение:

\[
-3 < a < 21
\]

Ответ для первой части: \( a \in (-3; 21) \)

2. Значения меньше:

Рассматриваем неравенство:

\[
\frac{x^2 + ax — 1}{2x^2 — 2x + 3} < 6
\]

2. Умножаем обе части неравенства на \( 2x^2 — 2x + 3 \) (положительное выражение для любого \( x \)):

\[
x^2 + ax — 1 < 6(x^2 — x + 1)
\]

3. Раскроем скобки и упростим:

\[
x^2 + ax — 1 < 6x^2 — 6x + 6
\]

4. Переносим все слагаемые в одну сторону:

\[
x^2 — (a + 6)x + 12 > 0
\]

5. Рассчитываем дискриминант для этого квадратного неравенства:

\[
D = (a + 6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 < 0
\]

6. Упрощаем дискриминант:

\[
D = a^2 + 12a + 36 — 144
\]

\[
D = a^2 + 12a — 108 < 0
\]

7. Рассчитываем дискриминант для этого квадратного уравнения:

\[
D = 12^2 + 4 \cdot 108 = 144 + 432 = 576
\]

8. Находим корни:

\[
a_1 = \frac{-12 — 24}{2} = -18 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-12 + 24}{2} = 6
\]

9. Решаем неравенство:

\[
(a + 18)(a — 6) < 0
\]

10. Получаем решение:

\[
-18 < a < 6
\]

Ответ для второй части: \( a \in (-18; 6) \)

Общий ответ:

Ответ: \( a \in (-3; 6) \).