ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1572 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях \( a \) неравенство верно при любом \( x \):

а) \( \frac{ax}{x^2 + 4} < 1,5 \)

б) \( \frac{x^2 + ax — 1}{2x^2 — 2x + 3} \geq 1 \)

Неравенство всегда верно:

а) \( \frac{ax}{x^2 + 4} < 1.5; \)

\( 2ax < 3(x^2 + 4); \)

\( 3x^2 — 2ax + 12 > 0; \)

\( D = (2a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 < 0; \)

\( 4a^2 — 144 < 0, \quad a^2 — 36 < 0; \)

\( (a + 6)(a — 6) < 0; \)

\( -6 < a < 6; \)

Ответ: \( a \in (-6; 6). \)

б) \( \frac{x^2 + ax — 1}{2x^2 — 2x + 3} < 1; \)

\( x^2 + ax — 1 < 2x^2 — 2x + 3; \)

\( x^2 — (a + 2)x + 4 > 0; \)

\( D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 4 < 0; \)

\( a^2 + 4a + 4 — 16 < 0; \)

\( a^2 + 4a — 12 < 0; \)

\( D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64, \text{тогда:} \)

\( a_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2; \)

\( (a + 6)(a — 2) < 0; \)

\( -6 < a < 2; \)

Ответ: \( a \in (-6; 2). \)

Задача

При каких значениях \( a \) неравенство верно при любом \( x \):

• а) \( \frac{ax}{x^2 + 4} < 1,5 \)
• б) \( \frac{x^2 + ax — 1}{2x^2 — 2x + 3} \geq 1 \)

Ответ

а) \( \frac{ax}{x^2 + 4} < 1.5 \):

1. Умножим обе части неравенства на \( x^2 + 4 \) (положительное выражение для любого \( x \)):

\[
ax < 1.5(x^2 + 4)
\]

2. Переносим все в одну сторону:

\[
3x^2 — 2ax + 12 > 0
\]

3. Рассмотрим дискриминант для этого квадратного неравенства:

\[
D = (2a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 12 < 0
\]

4. Упростим дискриминант:

\[
4a^2 — 144 < 0, \quad a^2 — 36 < 0
\]

5. Решаем неравенство:

\[
(a + 6)(a — 6) < 0
\]

6. Решение этого неравенства:

\[
-6 < a < 6
\]

Ответ: \( a \in (-6; 6) \)

б) \( \frac{x^2 + ax — 1}{2x^2 — 2x + 3} \geq 1 \):

1. Переносим 1 в левую часть:

\[
\frac{x^2 + ax — 1}{2x^2 — 2x + 3} — 1 \geq 0
\]

2. Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{x^2 + ax — 1 — (2x^2 — 2x + 3)}{2x^2 — 2x + 3} \geq 0
\]

3. Упростим числитель:

\[
\frac{x^2 + ax — 1 — 2x^2 + 2x — 3}{2x^2 — 2x + 3} \geq 0
\]

\[
\frac{-x^2 + (a + 2)x — 4}{2x^2 — 2x + 3} \geq 0
\]

4. Рассмотрим квадратное неравенство:

\[
x^2 — (a + 2)x + 4 > 0
\]

5. Рассчитаем дискриминант для этого неравенства:

\[
D = (a + 2)^2 — 4 \cdot 4 < 0
\]

6. Упростим дискриминант:

\[
a^2 + 4a + 4 — 16 < 0
\]

7. Преобразуем неравенство:

\[
a^2 + 4a — 12 < 0
\]

8. Решаем квадратное неравенство:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64
\]

9. Находим корни:

\[
a_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2
\]

10. Решение неравенства:

\[
(a + 6)(a — 2) < 0
\]

11. Решение:

\[
-6 < a < 2
\]

Ответ: \( a \in (-6; 2) \)