ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1571 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) \( x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} < \frac{5}{4} \)

б) \( x^2 + \frac{4x^2}{(x — 2)^2} \geq 5 \)

Решить неравенство:

а) \( x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} < \frac{5}{4}; \)

\( 4x^2(x+1)^2 + 4x^2 < 5(x+1)^2; \)

\( 4x^2(x^2 + 2x + 1) + 4x^2 < 5(x^2 + 2x + 1); \)

\( 4x^4 + 8x^3 + 4x^2 + 4x^2 < 5x^2 + 10x + 5; \)

\( 4x^4 + 8x^3 + 3x^2 — 10x — 5 < 0; \)

\( (x-1)(2x+1)(2x^2+5x+5) < 0; \)

\( (2x+1)(x-1) < 0, \quad -\frac{1}{2} < x < 1; \)

Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}; 1\right)\).

б) \( x^2 + \frac{4x^2}{(x-2)^2} \leq 5; \)

\( x^2(x-2)^2 + 4x^2 \leq 5(x-2)^2; \)

\( x^2(x^2 — 4x + 4) + 4x^2 \leq 5(x^2 — 4x + 4); \)

\( x^4 — 4x^3 + 4x^2 + 4x^2 \leq 5x^2 — 20x + 20; \)

\( x^4 — 4x^3 + 3x^2 + 20x — 20 \leq 0; \)

\( (x+2)(x-1)(x^2-5x+10) \leq 0; \)

\( (x+2)(x-1) \leq 0, \quad -2 \leq x \leq 1; \)

Ответ: \([-2; 1]\).

Задача

Решите неравенство:

а) \( x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} < \frac{5}{4} \)

б) \( x^2 + \frac{4x^2}{(x — 2)^2} \geq 5 \)

Ответ

а) \( x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} < \frac{5}{4} \):

1. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[
4x^2(x+1)^2 + 4x^2 < 5(x+1)^2
\]

2. Раскроем скобки:

\[
4x^2(x^2 + 2x + 1) + 4x^2 < 5(x^2 + 2x + 1)
\]

3. Упростим выражение:

\[
4x^4 + 8x^3 + 4x^2 + 4x^2 < 5x^2 + 10x + 5
\]

4. Соберем все слагаемые в одну сторону:

\[
4x^4 + 8x^3 + 3x^2 — 10x — 5 < 0
\]

5. Рассмотрим таблицу знаков для выражения:

6. Получаем, что \( (x — 1)(2x + 1)(2x^2 + 5x + 5) < 0 \);

7. Решаем неравенство:

\[
(2x + 1)(x — 1) < 0, \quad -\frac{1}{2} < x < 1
\]

Ответ: \( x \in \left(-\frac{1}{2}; 1\right) \)

б) \( x^2 + \frac{4x^2}{(x — 2)^2} \geq 5 \):

1. Приводим выражение к общему знаменателю:

\[
x^2(x — 2)^2 + 4x^2 \geq 5(x — 2)^2
\]

2. Раскрываем скобки:

\[
x^2(x^2 — 4x + 4) + 4x^2 \geq 5(x^2 — 4x + 4)
\]

3. Упростим выражение:

\[
x^4 — 4x^3 + 4x^2 + 4x^2 \geq 5x^2 — 20x + 20
\]

4. Преобразуем уравнение:

\[
x^4 — 4x^3 + 3x^2 + 20x — 20 \leq 0
\]

5. Рассмотрим таблицу знаков для выражения:

6. Получаем, что:

\[
(x + 2)(x — 1)(x^2 — 5x + 10) \leq 0
\]

7. Решаем неравенство:

\[
(x + 2)(x — 1) \leq 0, \quad -2 \leq x \leq 1
\]

Ответ: \( x \in [-2; 1] \)