ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1570 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях \( a \), \( b \) и \( c \) уравнение

\[(x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0\]

имеет корни.

Уравнение всегда имеет корни:

\( (x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0; \)

\( x^2 — ax — bx + ab + x^2 — ax — cx + ac + x^2 — bx — cx + bc = 0; \)

\( 3x^2 — 2(a + b + c)x + (ab + bc + ac) = 0; \)

\( D = 2^2(a + b + c)^2 — 4 \cdot 3(ab + bc + ac); \)

\( D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac) — 4(3ab + 3bc + 3ac); \)

\( D = 4(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac); \)

\( D = 2((a — b)^2 + (b — c)^2 + (a — c)^2) \geq 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что при любых значениях \( a \), \( b \) и \( c \) уравнение:

\[
(x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0
\]

имеет корни.

Ответ

Доказательство:

Рассмотрим уравнение:

\[
(x — a)(x — b) + (x — a)(x — c) + (x — b)(x — c) = 0
\]

1. Раскроем скобки в каждом из трёх слагаемых уравнения:

\[
(x — a)(x — b) = x^2 — (a + b)x + ab
\]

\[
(x — a)(x — c) = x^2 — (a + c)x + ac
\]

\[
(x — b)(x — c) = x^2 — (b + c)x + bc
\]

2. Сложим все полученные выражения:

\[
x^2 — (a + b)x + ab + x^2 — (a + c)x + ac + x^2 — (b + c)x + bc = 0
\]

3. Объединяем подобные слагаемые:

\[
3x^2 — 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0
\]

4. Теперь рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения:

\[
D = (-2(a + b + c))^2 — 4 \cdot 3 \cdot (ab + ac + bc)
\]

5. Упростим выражение для дискриминанта:

\[
D = 4(a + b + c)^2 — 12(ab + ac + bc)
\]

6. Раскроем скобки и упростим:

\[
D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac) — 12(ab + ac + bc)
\]

7. Упрощаем дальше:

\[
D = 4(a^2 + b^2 + c^2 — ab — bc — ac)
\]

8. Наконец, выражаем дискриминант как сумму квадратов:

\[
D = 2((a — b)^2 + (b — c)^2 + (a — c)^2) \geq 0
\]

Поскольку дискриминант всегда неотрицателен (\( D \geq 0 \)), уравнение всегда имеет корни.

Ответ: Уравнение всегда имеет корни.