ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1568 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \left(\frac{x}{x — 1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x + 1}\right)^2 = \frac{10}{9} \)

б) \( (x + 5)^4 — 13(x + 5)^2 x^2 + 36x^4 = 0 \)

Решить уравнение:

а) \( \left( \frac{x}{x-1} \right)^2 + \left( \frac{x}{x+1} \right)^2 = \frac{10}{9}; \)

\( \left( \frac{x}{x-1} \right)^2 + \frac{2x^2}{x^2 — 1} + \left( \frac{x}{x+1} \right)^2 = \frac{10}{9} + \frac{2x^2}{x^2 — 1}; \)

\( \left( \frac{x}{x-1} + \frac{x}{x+1} \right)^2 = \frac{10}{9} + \frac{2x^2}{x^2 — 1}; \)

\( \left( \frac{2x^2}{x^2 — 1} \right)^2 — \frac{2x^2}{x^2 — 1} — \frac{10}{9} = 0; \)

Пусть \( y = \frac{2x^2}{x^2 — 1} \), тогда:

\( y^2 — y — \frac{10}{9} = 0; \)

\( 9y^2 — 9y — 10 = 0; \)

\( D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 10 = 81 + 360 = 441 \), тогда:

\( y_1 = \frac{9 — 21}{2 \cdot 9} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9 + 21}{2 \cdot 9} = \frac{5}{3}; \)

Первое значение:

\( \frac{2x^2}{x^2 — 1} = -\frac{2}{3}; \)

\( 6x^2 = 2 — 2x^2; \)

\( 8x^2 = 2, \quad x^2 = \frac{1}{4}; \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}; \)

Второе значение:

\( \frac{2x^2}{x^2 — 1} = \frac{5}{3}; \)

\( 6x^2 = 5x^2 — 5; \)

Ответ: \( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}. \)

б) \( (x + 5)^4 — 13(x + 5)^2 x^2 + 36x^4 = 0; \)

Пусть \( y = x + 5 \), тогда:

\( y^4 — 13y^2 x^2 + 36x^4 = 0; \)

\( D = (13x^2)^2 — 4 \cdot 36x^4 = 169x^4 — 144x^4 = 25x^4 \), тогда:

\( y_1 = \frac{13x^2 — 5x^2}{2} = 4x^2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{13x^2 + 5x^2}{2} = 9x^2; \)

Первое значение:

\( x + 5 = -2x, \quad x = -\frac{5}{3}; \)

\( x + 5 = 2x, \quad x = 5; \)

Второе значение:

\( x + 5 = -3x, \quad x = -\frac{5}{4}; \)

\( x + 5 = 3x, \quad x = \frac{5}{2}; \)

Ответ: \( -\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}; \frac{5}{2}; 5. \)

Задача

Решите уравнение:

• а) \( \left(\frac{x}{x — 1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x + 1}\right)^2 = \frac{10}{9} \)
• б) \( (x + 5)^4 — 13(x + 5)^2 x^2 + 36x^4 = 0 \)

Ответ

а) \( \left( \frac{x}{x-1} \right)^2 + \left( \frac{x}{x+1} \right)^2 = \frac{10}{9} \):

1. Начнем с приведения к общему знаменателю:

\[
\left( \frac{x}{x-1} \right)^2 + \frac{2x^2}{x^2 — 1} + \left( \frac{x}{x+1} \right)^2 = \frac{10}{9} + \frac{2x^2}{x^2 — 1};
\]

2. Сложим выражения:

\[
\left( \frac{x}{x-1} + \frac{x}{x+1} \right)^2 = \frac{10}{9} + \frac{2x^2}{x^2 — 1};
\]

3. Изменим вид уравнения:

\[
\left( \frac{2x^2}{x^2 — 1} \right)^2 — \frac{2x^2}{x^2 — 1} — \frac{10}{9} = 0;
\]

4. Пусть \( y = \frac{2x^2}{x^2 — 1} \), тогда у нас получится следующее уравнение:

\[
y^2 — y — \frac{10}{9} = 0;
\]

5. Преобразуем это уравнение:

\[
9y^2 — 9y — 10 = 0;
\]

6. Находим дискриминант:

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 10 = 81 + 360 = 441;
\]

7. Решаем квадратное уравнение для \( y \):

\[
y_1 = \frac{9 — 21}{2 \cdot 9} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9 + 21}{2 \cdot 9} = \frac{5}{3};
\]

8. Подставляем значения для \( y \):

Первое значение:

\[
\frac{2x^2}{x^2 — 1} = -\frac{2}{3};
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
6x^2 = 2 — 2x^2;
\]

Дискриминант:

\[
8x^2 = 2, \quad x^2 = \frac{1}{4};
\]

Значит, \( x = \pm \frac{1}{2} \).

Второе значение:

\[
\frac{2x^2}{x^2 — 1} = \frac{5}{3};
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
6x^2 = 5x^2 — 5;
\]

Ответ: \( x = \pm \frac{1}{2}. \)

б) \( (x + 5)^4 — 13(x + 5)^2 x^2 + 36x^4 = 0 \):

1. Пусть \( y = x + 5 \), тогда:

\[
y^4 — 13y^2 x^2 + 36x^4 = 0;
\]

2. Решим это уравнение, используя дискриминант:

\[
D = (13x^2)^2 — 4 \cdot 36x^4 = 169x^4 — 144x^4 = 25x^4;
\]

3. Решаем для \( y \):

\[
y_1 = \frac{13x^2 — 5x^2}{2} = 4x^2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{13x^2 + 5x^2}{2} = 9x^2;
\]

4. Теперь решаем для \( x \):

Первое значение:

\[
x + 5 = -2x, \quad x = -\frac{5}{3};
\]

Значения:

\[
x + 5 = 2x, \quad x = 5;
\]

Второе значение:

\[
x + 5 = -3x, \quad x = -\frac{5}{4};
\]

Значения:

\[
x + 5 = 3x, \quad x = \frac{5}{2};
\]

Ответ: \( -\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}; \frac{5}{2}; 5. \)