ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1567 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \frac{x}{x^2 + 3x + 2} — \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{24} \)

б) \( \frac{x}{x^2 — 3x + 1} — \frac{x}{x^2 + x + 1} = 2 \frac{10}{13} \)

Решить уравнение:

а) \( \frac{x}{x^2 + 3x + 2} — \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{18}; \)

\( \frac{1}{x + 3 + \frac{2}{x}} — \frac{1}{x + 6 + \frac{2}{x}} = \frac{1}{18}; \)

Пусть \( y = x + \frac{2}{x} \), тогда:

\( \frac{1}{y + 3} — \frac{1}{y + 6} = \frac{1}{18}; \)

\( 18(y + 6) — 18(y + 3) = (y + 3)(y + 6); \)

\( 18y + 108 — 18y — 54 = y^2 + 3y + 6y + 18; \)

\( y^2 + 9y — 36 = 0; \)

\( D = 9^2 + 4 \cdot 36 = 81 + 144 = 225 \), тогда:

\( y_1 = \frac{-9 — 15}{2} = -12 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3; \)

Первое значение:

\( x + \frac{2}{x} = -12; \)

\( x^2 + 12x + 2 = 0; \)

\( D = 12^2 — 4 \cdot 2 = 144 — 8 = 136 \), тогда:

\( x = \frac{-12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -6 \pm \sqrt{34}; \)

Второе значение:

\( x + \frac{2}{x} = 3; \)

\( x^2 — 3x + 2 = 0; \)

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда:

\( x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2; \)

Ответ: \( 1; 2; -6 \pm \sqrt{34}. \)

б) \( \frac{x}{x^2 — 3x + 1} — \frac{x}{x^2 + x + 1} = 2 \frac{10}{13}; \)

\( \frac{1}{x — 3 + \frac{1}{x}} — \frac{1}{x + 1 + \frac{1}{x}} = \frac{36}{13}; \)

Пусть \( y = x + \frac{1}{x} \), тогда:

\( \frac{1}{y — 3} — \frac{1}{y + 1} = \frac{36}{13}; \)

\( 13(y + 1) — 13(y — 3) = 36(y — 3)(y + 1); \)

\( 13y + 13 — 13y + 39 = 36y^2 — 72y — 108; \)

\( 9y^2 — 18y — 40 = 0; \)

\( D = 18^2 + 4 \cdot 9 \cdot 40 = 324 + 1440 = 1764 \), тогда:

\( y_1 = \frac{18 — 42}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{18 + 42}{2 \cdot 9} = \frac{10}{3}; \)

Первое значение:

\( x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3}; \)

\( 3x^2 + 4x + 3 = 0; \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = -20 \),

Второе значение:

\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}; \)

\( 3x^2 — 10x + 3 = 0; \)

\( D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \), тогда:

\( x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3; \)

Ответ: \( \frac{1}{3}; 3. \)

Задача

Решите уравнение:

• а) \( \frac{x}{x^2 + 3x + 2} — \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{24} \)
• б) \( \frac{x}{x^2 — 3x + 1} — \frac{x}{x^2 + x + 1} = 2 \frac{10}{13} \)

Ответ

а) \( \frac{x}{x^2 + 3x + 2} — \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{24} \):

Решим уравнение:

\[
\frac{x}{x^2 + 3x + 2} — \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{18};
\]

1. Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{x + 3 + \frac{2}{x}} — \frac{1}{x + 6 + \frac{2}{x}} = \frac{1}{18};
\]

2. Пусть \( y = x + \frac{2}{x} \), тогда:

\[
\frac{1}{y + 3} — \frac{1}{y + 6} = \frac{1}{18};
\]

3. Перемножаем обе части:

\[
18(y + 6) — 18(y + 3) = (y + 3)(y + 6);
\]

4. Упростим это выражение:

\[
18y + 108 — 18y — 54 = y^2 + 3y + 6y + 18;
\]

5. Упростим дальше:

\[
y^2 + 9y — 36 = 0;
\]

6. Находим дискриминант:

\[
D = 9^2 + 4 \cdot 36 = 81 + 144 = 225;
\]

7. Решаем квадратное уравнение:

\[
y_1 = \frac{-9 — 15}{2} = -12 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3;
\]

8. Подставляем найденные значения для \( y \):

Первое значение:

\[
x + \frac{2}{x} = -12;
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
x^2 + 12x + 2 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 12^2 — 4 \cdot 2 = 144 — 8 = 136;
\]

Таким образом, решения:

\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{34}}{2} = -6 \pm \sqrt{34};
\]

Второе значение:

\[
x + \frac{2}{x} = 3;
\]

Решаем квадратное уравнение:

\[
x^2 — 3x + 2 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;
\]

Решения:

\[
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\]

Ответ: \( 1; 2; -6 \pm \sqrt{34}. \)

б) \( \frac{x}{x^2 — 3x + 1} — \frac{x}{x^2 + x + 1} = 2 \frac{10}{13} \):

Решим уравнение:

\[
\frac{x}{x^2 — 3x + 1} — \frac{x}{x^2 + x + 1} = 2 \frac{10}{13};
\]

1. Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{x — 3 + \frac{1}{x}} — \frac{1}{x + 1 + \frac{1}{x}} = \frac{36}{13};
\]

2. Пусть \( y = x + \frac{1}{x} \), тогда:

\[
\frac{1}{y — 3} — \frac{1}{y + 1} = \frac{36}{13};
\]

3. Перемножаем и решаем:

\[
13(y + 1) — 13(y — 3) = 36(y — 3)(y + 1);
\]

4. Упростим выражение:

\[
13y + 13 — 13y + 39 = 36y^2 — 72y — 108;
\]

5. Преобразуем это в квадратное уравнение:

\[
9y^2 — 18y — 40 = 0;
\]

6. Находим дискриминант:

\[
D = 18^2 + 4 \cdot 9 \cdot 40 = 324 + 1440 = 1764;
\]

7. Решаем квадратное уравнение:

\[
y_1 = \frac{18 — 42}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{18 + 42}{2 \cdot 9} = \frac{10}{3};
\]

8. Подставляем значения для \( y \):

Первое значение:

\[
x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3};
\]

Решаем уравнение:

\[
3x^2 + 4x + 3 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = -20, \]

Второе значение:

\[
x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3};
\]

Решаем уравнение:

\[
3x^2 — 10x + 3 = 0;
\]

Дискриминант:

\[
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64;
\]

Решения:

\[
x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = 3;
\]

Ответ: \( \frac{1}{3}; 3. \)