ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1564 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что из равенства

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}
\]

следует равенство

\[
\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n},
\]

где \( n \) — нечётное натуральное число.

Известно следующее:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}; \)

1) Приведем к виду:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b + c} — \frac{1}{c}; \)

\( \frac{a + b}{ab} = \frac{c — a — b — c}{c(a + b + c)}; \)

\( c(a + b)(a + b + c) = -ab(a + b); \)

\( (a + b)(c(a + c) + b(a + c)) = 0; \)

\( (a + b)(b + c)(a + c) = 0; \)

2) Пусть \( a = -b \), тогда:

\( \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n} — \frac{1}{a^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{c^n}; \)

\( \frac{1}{a^n + b^n + c^n} = \frac{1}{a^n — a^n + c^n} = \frac{1}{c^n}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что из равенства:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}
\]

следует равенство:

\[
\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n},
\]

где \( n \) — нечётное натуральное число.

Ответ

Доказательство:

1. Начнем с предположения, что из равенства:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}
\]

следует, что можно привести выражение к более удобному виду. Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b + c} — \frac{1}{c}
\]

2. После вычитания правых частей получаем:

\[
\frac{a + b}{ab} = \frac{c — a — b — c}{c(a + b + c)}
\]

3. Преобразуем это выражение:

\[
c(a + b)(a + b + c) = -ab(a + b)
\]

4. Разворачиваем это выражение:

\[
(a + b)(c(a + c) + b(a + c)) = 0
\]

5. Получаем факторизацию:

\[
(a + b)(b + c)(a + c) = 0
\]

6. Теперь, пусть \( a = -b \), что подставим в исходное выражение. Получаем:

\[
\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n} — \frac{1}{a^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{c^n}
\]

7. В правой части у нас теперь выражение \( \frac{1}{c^n} \). Точно так же для знаменателя:

\[
\frac{1}{a^n + b^n + c^n} = \frac{1}{a^n — a^n + c^n} = \frac{1}{c^n}
\]

8. Таким образом, мы доказали, что:

\[
\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n}
\]

Ответ: Равенство доказано.