ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1563 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) = -\frac{1}{2} \);

б) \( \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) — \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{2} \).

Доказать равенство:

а) \( \cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\frac{1}{2}; \)

\( 2 \cos \frac{6\pi}{2 \cdot 5} \cdot \cos \frac{2\pi}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{2}; \)

\( 2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} = -\frac{1}{2}; \)

\( 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{5}; \)

\( -2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{5}; \)

\( -\sin \frac{4\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{5}; \)
\( \sin \frac{\pi}{5}= — \sin \frac{\pi}{5}; \)

Равенство доказано.

б) \( \cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{2}; \)

\( 2 \sin \frac{3\pi}{2 \cdot 5} \cdot \sin \frac{\pi}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}; \)

\( \frac{2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} \sin \frac{3\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{1}{2}; \)

\( 2 \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{10}; \)

\( 2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5}; \)

\( \sin \frac{2\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5} \)

Равенство доказано.

Задача

Докажите равенства:

• \[
  \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) = -\frac{1}{2}
  \]
• \[
  \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) — \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{2}
  \]

Ответ

а) \( \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) = -\frac{1}{2} \):

Для доказательства этого равенства воспользуемся тригонометрическими тождества для суммы косинусов. Рассмотрим выражение:

\[
\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5}
\]

Используем формулу для суммы косинусов:

\[
2 \cos \frac{6\pi}{2 \cdot 5} \cdot \cos \frac{2\pi}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{2}
\]

Рассмотрим следующее преобразование:

\[
2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} = -\frac{1}{2}
\]

Продолжая, мы можем преобразовать это выражение:

\[
2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{5}
\]

Это уравнение можно упростить до:

\[
-2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{5}
\]

И, наконец, получаем:

\( \sin \frac{\pi}{5}= — \sin \frac{\pi}{5}; \)

Таким образом, равенство доказано.

б) \( \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) — \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{1}{2} \):

Для доказательства этого равенства используем аналогичный подход. Рассмотрим выражение:

\[
\cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{2\pi}{5}
\]

Используем формулу для разности косинусов:

\[
2 \sin \frac{3\pi}{2 \cdot 5} \cdot \sin \frac{\pi}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}
\]

Подставляем значения углов и упрощаем:

\[
\frac{2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} \sin \frac{3\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{10}} = \frac{1}{2}
\]

После дальнейших преобразований получаем:

\[
2 \sin \frac{2\pi}{5} \sin \frac{3\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{10}
\]

Теперь упрощаем:

\( \sin \frac{2\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5} \)

Таким образом, равенство доказано.