ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1562 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение

\[
\sin^4(x) — \sin^2(x) + \sin(x) — 3 = 0
\]

не имеет корней.

Уравнение не имеет корней:

\( \sin^4 x — \sin^2 x + \sin x — 3 = 0; \)

\( \sin^2 x (\sin^2 x — 1) + \sin x — 3 = 0; \)

\( -\sin^2 x \cos^2 x + \sin x — 3 = 0; \)

\( \sin x — \frac{1 — \cos 4x}{8} — 3 = 0; \)

\( 8 \sin x — 1 + \cos 4x — 24 = 0; \)

\( 8 \sin x + \cos 4x = 25; \)

\( 8 \sin x + \cos 4x \leq 9; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что уравнение:

\[
\sin^4(x) — \sin^2(x) + \sin(x) — 3 = 0
\]

не имеет корней.

Ответ

Доказательство:

Рассмотрим уравнение:

\[
\sin^4(x) — \sin^2(x) + \sin(x) — 3 = 0
\]

1. Для удобства введем замену: \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[
y^4 — y^2 + y — 3 = 0
\]

2. Попробуем преобразовать это уравнение. Начнем с того, что сгруппируем термины:

\[
y^4 — y^2 + y — 3 = (y^2)^2 — y^2 + y — 3
\]

3. Теперь рассмотрим, что можно сделать с этим уравнением. Применим факторизацию и упрощение, но результат пока не приводит к очевидному решению, так что попытаемся решить уравнение другим способом.

4. Рассмотрим дополнительные преобразования. Мы имеем:

\[
\sin^2(x) (\sin^2(x) — 1) + \sin(x) — 3 = 0
\]

5. Дальше заменим \( \sin^2(x) \) через \( \cos^2(x) \), преобразуем:

\[
-\sin^2(x) \cos^2(x) + \sin(x) — 3 = 0
\]

6. Теперь представим выражение через более сложные тригонометрические тождества:

\[
\sin(x) — \frac{1 — \cos(4x)}{8} — 3 = 0
\]

7. Упростим выражение:

\[
8 \sin(x) — 1 + \cos(4x) — 24 = 0
\]

8. Получаем окончательную форму:

\[
8 \sin(x) + \cos(4x) = 25
\]

9. Теперь рассмотрим, что может быть максимально для \( 8 \sin(x) + \cos(4x) \). Мы знаем, что \( \sin(x) \) принимает значения от \( -1 \) до \( 1 \), а \( \cos(4x) \) также принимает значения от \( -1 \) до \( 1 \). Следовательно:

\[
8 \sin(x) + \cos(4x) \leq 8 + 1 = 9
\]

10. Однако, у нас в уравнении \( 8 \sin(x) + \cos(4x) = 25 \), что невозможно, так как \( 25 > 9 \).

Таким образом, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней.