ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1561 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что

\[
\cos(\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \cdot \dots \cdot \cos^k(\alpha) = \frac{\sin(2^{k+1} \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)},
\]

где \( k \) — натуральное число.

Доказать равенство:

\( \cos a \cos 2a \cos 4a \cdot \ldots \cdot \cos 2^k a = \)

\( = \frac{2^{k+1} \sin a \cos a \cos 2a \cos 4a \cdot \ldots \cdot \cos 2^k a}{2^{k+1} \sin a} = \)

\( = \frac{2^k \sin 2a \cos 2a \cos 4a \cdot \ldots \cdot \cos 2^k a}{2^{k+1} \sin a} = \)

\( = \frac{2^{k-1} \sin 4a \cos 4a \cdot \ldots \cdot \cos 2^k a}{2^{k+1} \sin a} = \)

\( = \frac{2 \sin 2^k a \cos 2^k a}{2^{k+1} \sin a} = \frac{\sin 2^{k+1} a}{2^{k+1} \sin a}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что

\[
\cos(\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \cdot \dots \cdot \cos(2^k\alpha) = \frac{\sin(2^{k+1} \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)},
\]

где \( k \) — натуральное число.

Ответ

Доказательство:

Мы должны доказать равенство:

\[
\cos(\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \cdot \dots \cdot \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^{k+1} \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]

1. Начнем с левой части выражения:

\[
\cos(\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \dots \cos(2^k \alpha)
\]

2. Рассмотрим шаги умножения. Мы можем представить это выражение как продукт косинусов, начиная с \( \cos(\alpha) \) и удваивая углы до \( \cos(2^k \alpha) \). Перепишем его с использованием факторизации:

\[
= \frac{2^{k+1} \sin(\alpha) \cos(\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \cdots \cos(2^k \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]

3. Далее продолжаем процесс, представляем каждый шаг:

\[
= \frac{2^k \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \cdots \cos(2^k \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]

4. Преобразуем выражение далее:

\[
= \frac{2^{k-1} \sin(4\alpha) \cos(4\alpha) \cdots \cos(2^k \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]

5. Умножая и упрощая дальше, мы получаем:

\[
= \frac{2 \sin(2^k \alpha) \cos(2^k \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]

6. Наконец, используя тригонометрическое тождество для синуса, \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), мы получаем итоговый результат:

\[
= \frac{\sin(2^{k+1} \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]

Ответ: Таким образом, доказано равенство:

\[
\cos(\alpha) \cos(2\alpha) \cos(4\alpha) \cdot \dots \cdot \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^{k+1} \alpha)}{2^{k+1} \sin(\alpha)}
\]