ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1560 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что наибольшее значение \( \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) \) равно \( \sqrt{3} \).

Доказать неравенство:

\( \sin x + \sqrt{3} \cos x \leq 2; \)

\( 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) \leq 2; \)

\( \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \leq 1; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что наибольшее значение \( \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) \) равно \( \sqrt{3} \).

Ответ

Доказательство:

Наша цель — найти наибольшее значение выражения \( \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) \). Для этого воспользуемся методом приведения данного выражения к стандартной форме для тригонометрических функций.

1. Рассмотрим выражение \( \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x) \). Мы можем выразить его как комбинацию синуса с фазовым сдвигом. Для этого используем формулу:

\[
R \sin(x + \phi) = \sin(x) + \sqrt{3} \cos(x)
\]

Найдем параметры \( R \) и \( \phi \). Для этого приравняем коэффициенты перед синусом и косинусом:

\[
R \cos(\phi) = 1 \quad \text{и} \quad R \sin(\phi) = \sqrt{3}
\]

Теперь найдем \( R \) из этих уравнений. Используем теорему Пифагора:

\[
R^2 = \left(R \cos(\phi)\right)^2 + \left(R \sin(\phi)\right)^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4
\]

Таким образом, \( R = 2 \).

Теперь найдем угол \( \phi \). Для этого воспользуемся отношениями для тангенса угла:

\[
\tan(\phi) = \frac{R \sin(\phi)}{R \cos(\phi)} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
\]

Следовательно, \( \phi = \frac{\pi}{3} \). Таким образом, можно записать исходное выражение как:

\[
2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)
\]

2. Теперь найдем наибольшее значение этого выражения. Поскольку \( \sin(x + \frac{\pi}{3}) \) принимает значения от \( -1 \) до \( 1 \), наибольшее значение выражения \( 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \) равно \( 2 \times 1 = 2 \).

3. Следовательно, наибольшее значение \( \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) \) равно \( 2 \), и это значение достигается, когда \( \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \).

4. Таким образом, мы доказали, что наибольшее значение \( \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) \) равно \( {2} \).