ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1559 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите формулы К. Мольвейде:

\[
\frac{a + b}{c} = \frac{\cos\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{C}{2}\right)},
\]

\[
\frac{a — b}{c} = \frac{\sin\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}.
\]

Доказать формулы:

\( \frac{a}{\sin A} + \frac{b}{\sin B} + \frac{c}{\sin C} = k; \)

\( a = k \sin A, \, b = k \sin B, \, c = k \sin C; \)

\( A + B + C = \pi, \quad A + B = \pi — C; \)

1) \( \frac{a + b}{c} = \frac{k \sin A + k \sin B}{k \sin C} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin C} = \)

\( = \frac{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2}}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} = \frac{\sin \frac{\pi — C}{2} \cos \frac{A — B}{2}}{\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} = \)

\( = \frac{\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A — B}{2}}{\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} = \frac{\cos \frac{A — B}{2}}{\sin \frac{C}{2}}; \)

2) \( \frac{a — b}{c} = \frac{k \sin A — k \sin B}{k \sin C} = \frac{\sin A — \sin B}{\sin C} = \)

\( = \frac{2 \sin \frac{A — B}{2} \cos \frac{A + B}{2}}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} = \frac{\sin \frac{\pi — C}{2} \cos \frac{A — B}{2}}{\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} = \)

\( = \frac{\sin \frac{A — B}{2} \sin \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} = \frac{\sin \frac{A — B}{2}}{\cos \frac{C}{2}}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите формулы К. Мольвейде:

• \[
  \frac{a + b}{c} = \frac{\cos\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{C}{2}\right)},
  \]
• \[
  \frac{a — b}{c} = \frac{\sin\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}.
  \]

Ответ

Доказательство:

1. Начнем с выражения для сторон треугольника через его углы. Из закона синусов для треугольника мы знаем, что:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k
\]

Где \( a \), \( b \), \( c \) — стороны треугольника, а \( A \), \( B \), \( C \) — углы, противоположные этим сторонам, и \( k \) — постоянная величина (параметр треугольника).

Из этого следует:

\[
a = k \sin A, \quad b = k \sin B, \quad c = k \sin C
\]

2. Рассмотрим первую формулу, \( \frac{a + b}{c} \). Подставим значения для \( a \), \( b \) и \( c \):

\[
\frac{a + b}{c} = \frac{k \sin A + k \sin B}{k \sin C}
\]

Сокращаем \( k \) в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{\sin A + \sin B}{\sin C}
\]

3. Теперь используем формулу для суммы синусов:

\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Подставляем это в выражение:

\[
= \frac{2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin C}
\]

4. Используем тождество для углов \( A + B = \pi — C \), так как сумма углов треугольника равна \( \pi \):

\[
\sin\left(\frac{\pi — C}{2}\right) = \cos\left(\frac{C}{2}\right)
\]

Таким образом, получаем:

\[
= \frac{2 \sin\left(\frac{\pi — C}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)}{2 \sin\left(\frac{C}{2}\right) \cos\left(\frac{C}{2}\right)}
\]

После упрощений и сокращений получаем:

\[
= \frac{\cos\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}
\]

Итак, доказано, что:

\[
\frac{a + b}{c} = \frac{\cos\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}
\]

2. Доказательство второй формулы:

Рассмотрим выражение для \( \frac{a — b}{c} \). Подставляем \( a = k \sin A \), \( b = k \sin B \), \( c = k \sin C \):

\[
\frac{a — b}{c} = \frac{k \sin A — k \sin B}{k \sin C}
\]

Сокращаем \( k \) в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{\sin A — \sin B}{\sin C}
\]

Теперь используем формулу для разности синусов:

\[
\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Подставляем это в выражение:

\[
= \frac{2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin C}
\]

Используем опять, что \( A + B = \pi — C \), то есть \( \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) = \sin\left(\frac{C}{2}\right) \):

\[
= \frac{2 \sin\left(\frac{C}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\sin C}
\]

Теперь выражаем это через \( \cos\left(\frac{C}{2}\right) \) и получаем:

\[
= \frac{\sin\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}
\]

Таким образом, доказано, что:

\[
\frac{a — b}{c} = \frac{\sin\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}
\]

Что и требовалось доказать.