ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1558 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Для произвольного треугольника докажите «теорему тангенсов»:

\[
\frac{a — b}{a + b} = \frac{\tan\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)},
\]

где \( a \), \( b \) — стороны треугольника, \( A \), \( B \) — противоположные углы.

Доказать теорему тангенсов:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k; \)

\( a = k \sin A, \quad b = k \sin B; \)

\( \frac{a — b}{a + b} = \frac{k \sin A — k \sin B}{k \sin A + k \sin B} = \frac{\sin A — \sin B}{\sin A + \sin B}; \)

\( \frac{a — b}{a + b} = \frac{2 \sin \frac{A — B}{2} \cos \frac{A + B}{2}}{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2}} = \frac{\tan \frac{A — B}{2}}{\tan \frac{A + B}{2}}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Для произвольного треугольника докажите «теорему тангенсов»:

\[
\frac{a — b}{a + b} = \frac{\tan\left(\frac{A — B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A + B}{2}\right)},
\]

где \( a \), \( b \) — стороны треугольника, \( A \), \( B \) — противоположные углы.

Ответ

Доказательство теоремы тангенсов:

1. Используем основное соотношение для сторон треугольника, связанное с его углами, в виде:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k
\]

где \( k \) — постоянная величина (здесь она известна как «параметр треугольника» или «постоянная синуса»). Таким образом, можно выразить стороны через этот параметр:

\[
a = k \sin A, \quad b = k \sin B
\]

2. Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \) в левую часть искомого равенства:

\[
\frac{a — b}{a + b} = \frac{k \sin A — k \sin B}{k \sin A + k \sin B}
\]

Выносим \( k \) за скобки в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{\sin A — \sin B}{\sin A + \sin B}
\]

3. Теперь воспользуемся формулами для разности и суммы синусов:

\[
\sin(A — B) = 2 \sin\left(\frac{A — B}{2}\right) \cos\left(\frac{A + B}{2}\right)
\]

\[
\sin(A + B) = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Таким образом, мы можем представить выражение для числителя и знаменателя как:

\[
\frac{\sin A — \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{2 \sin \frac{A — B}{2} \cos \frac{A + B}{2}}{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2}}
\]

4. Упростив, получаем искомое соотношение:

\[
= \frac{\tan \frac{A — B}{2}}{\tan \frac{A + B}{2}}
\]

Что и требовалось доказать.