ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1557 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если в треугольнике с углами \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) угол \( \gamma \) тупой, то произведение тангенсов \( \alpha \) и \( \beta \) меньше 1:

\[
\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) < 1, \quad \text{если} \quad \gamma \, \text{тупой}.
\]

Известно следующее:

\( \alpha + \beta + \gamma = \pi; \)

\( \gamma > \frac{\pi}{2}, \quad \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}; \)

Докажем неравенство:

\( \tan \alpha \cdot \tan \beta < 1; \)

\( \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} — 1 < 0; \)

\( \frac{\sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} < 0; \)

\( -\cos(\alpha + \beta) < 0; \)

\( -\cos(\pi — \gamma) < 0; \)

\( \cos \gamma < 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что если в треугольнике с углами \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) угол \( \gamma \) тупой, то произведение тангенсов \( \alpha \) и \( \beta \) меньше 1:

\[
\tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) < 1, \quad \text{если} \quad \gamma \, \text{тупой}.
\]

Ответ

Известно следующее:

\[
\alpha + \beta + \gamma = \pi
\]

Также, если угол \( \gamma \) тупой, то:

\[
\gamma > \frac{\pi}{2}, \quad \alpha, \beta < \frac{\pi}{2}
\]

Доказательство неравенства:

Мы должны доказать неравенство:

\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta < 1
\]

Начнем с выражения для произведения тангенсов:

\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}
\]

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

\[
\tan \alpha \cdot \tan \beta — 1 = \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} — 1
\]

Приводим к общему знаменателю:

\[
= \frac{\sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta}
\]

Теперь рассмотрим числитель. Используем тождество для косинуса суммы углов:

\[
\cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) — \sin(A) \sin(B)
\]

Применяя его для \( A = \alpha \) и \( B = \beta \), получаем:

\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta
\]

Таким образом, числитель становится:

\[
\sin \alpha \sin \beta — \cos \alpha \cos \beta = -\cos(\alpha + \beta)
\]

Итак, выражение принимает вид:

\[
\frac{-\cos(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
\]

Теперь рассмотрим знак числителя. Так как \( \alpha + \beta + \gamma = \pi \), то \( \alpha + \beta = \pi — \gamma \), и следовательно:

\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi — \gamma)
\]

Так как \( \gamma \) тупой, то \( \cos(\gamma) < 0 \), и мы получаем:

\[
-\cos(\pi — \gamma) < 0
\]

Таким образом, числитель отрицателен, а знаменатель всегда положителен, так как \( \alpha, \beta < \frac{\pi}{2} \). Следовательно, все выражение меньше нуля:

\[
\frac{-\cos(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} < 0
\]

Что и требовалось доказать:

\( \cos \gamma < 0; \)