ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1556 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 4 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), то

\[
\tan\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) = \frac{3 \sin(\alpha)}{5 — 3 \cos(\alpha)}.
\]

Известно следующее:

\( \tan \frac{\beta}{2} = 4 \tan \frac{a}{2}; \)

Докажем данное равенство:

\( \tan \frac{\beta — a}{2} = \frac{\tan \frac{\beta}{2} — \tan \frac{a}{2}}{1 + \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{a}{2}} = \frac{4 \tan \frac{a}{2} — \tan \frac{a}{2}}{1 + 4 \tan^2 \frac{a}{2}} = \)

\( = \frac{3 \tan \frac{a}{2}}{1 + 4 \tan^2 \frac{a}{2}} = \frac{3 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2} + 4 \sin^2 \frac{a}{2}} = \frac{3 \sin a}{1 + 3 \sin^2 a} = \)

\( = \frac{3 \sin a}{2 + 3(1 — \cos a)} = \frac{3 \sin a}{5 — 3 \cos a}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что если \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 4 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), то

\[
\tan\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) = \frac{3 \sin(\alpha)}{5 — 3 \cos(\alpha)}.
\]

Ответ

Известно следующее:

\[
\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = 4 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]

Доказательство:

Рассмотрим левую часть выражения \( \tan\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \). Используем формулу для разности тангенсов половинных углов:

\[
\tan\left(\frac{\beta — \alpha}{2}\right) = \frac{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\]

Подставим известные значения:

\[
= \frac{4 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + 4 \tan^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\]

В числителе выносим \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \):

\[
= \frac{3 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 + 4 \tan^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\]

Теперь используем тождество для тангенса через синус и косинус:

\[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\]

Подставим это в выражение:

\[
= \frac{3 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\]

Применяем \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) для числителя:

\[
= \frac{3 \sin(\alpha)}{1 + 3 \sin^2(\alpha)}
\]

Теперь, применяя тригонометрическое тождество для \( \cos(\alpha) = 1 — 2 \sin^2(\alpha) \), получаем:

\[
= \frac{3 \sin(\alpha)}{2 + 3(1 — \cos(\alpha))}
\]

И, наконец, получаем итоговый результат:

\[
= \frac{3 \sin(\alpha)}{5 — 3 \cos(\alpha)}
\]

Ответ: \( \frac{3 \sin(\alpha)}{5 — 3 \cos(\alpha)} \)