ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1555 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \dots + \cos(2n\alpha) = \frac{\sin(n\alpha) \cos((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)} \), где \( n \) — натуральное число;

б) \( \sin(2\alpha) + \sin(4\alpha) + \dots + \sin(2n\alpha) = \frac{\sin(n\alpha) \sin((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)} \), где \( n \) — натуральное число.

Доказать тождество:

а) \( \cos 2a + \cos 4a + \cdots + \cos 2na = \frac{\sin na \cos (n+1)a}{\sin a}; \)

Если \( n = k + 1 \), тогда:

\( \cos 2a + \cos 4a + \cdots + \cos 2ka + \cos 2a(k+1) = \)

\( = \frac{\sin ka \cos (k+1)a}{\sin a} + \cos 2a(k+1) = \)

\( = \frac{\sin ak \cos (ak + a) + \sin a \cos (2ak + 2a)}{\sin a} = \)

\( = \frac{\sin (2ak + a) — \sin a + \sin (2ak + 3a) — \sin (2ak + a)}{2 \sin a} = \)

\( = \frac{\sin (ak + a) \cos (ak + 2a)}{\sin a} = \frac{\sin (k+1)a \cos (k+2)a}{\sin a}; \)

Если \( n = 1 \), тогда:

\( \frac{\sin 1 \cos (1+1)a}{\sin 1} = \cos 2; \)

Что и требовалось доказать.

б) \( \sin 2a + \sin 4a + \cdots + \sin 2na = \frac{\sin na \sin (n+1)a}{\sin a}; \)

Если \( n = k + 1 \), тогда:

\( \sin 2a + \sin 4a + \cdots + \sin 2ka + \sin 2a(k+1) = \)

\( = \frac{\sin ka \sin (k+1)a}{\sin a} + \sin 2a(k+1) = \)

\( = \frac{\sin ak \sin (ak + a) + \sin a \sin (2ak + 2a)}{\sin a} = \)

\( = \frac{\cos a — \cos (2ak + a) + \cos (2ak + a) — \cos (2ak + 3a)}{2 \sin a} = \)

\( = \frac{\sin (ak + a) \sin (ak + 2a)}{\sin a} = \frac{\sin (k+1)a \sin (k+2)a}{\sin a}; \)

Если \( n = 1 \), тогда:

\( \frac{\sin 1 \sin (1+1)a}{\sin 1} = \sin 2а; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите тождество:

• а) \( \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \dots + \cos(2n\alpha) = \frac{\sin(n\alpha) \cos((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)} \), где \( n \) — натуральное число;
• б) \( \sin(2\alpha) + \sin(4\alpha) + \dots + \sin(2n\alpha) = \frac{\sin(n\alpha) \sin((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)} \), где \( n \) — натуральное число.

Ответы

а) \( \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \dots + \cos(2n\alpha) = \frac{\sin(n\alpha) \cos((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)} \):

Для доказательства используем известные формулы для суммы косинусов. Применяем метод математической индукции. Начнем с выражения для суммы косинусов:

\[
\cos(2a) + \cos(4a) + \cdots + \cos(2na)
\]

Предположим, что для некоторого \( n \) выполняется следующее тождество:

\[
\cos(2a) + \cos(4a) + \cdots + \cos(2ka) = \frac{\sin(ka) \cos((k+1)a)}{\sin(a)}
\]

Теперь добавим следующий член \( \cos(2(k+1)a) \):

\[
\cos(2a) + \cos(4a) + \cdots + \cos(2ka) + \cos(2(k+1)a) =\]

\[\frac{\sin(ka) \cos((k+1)a)}{\sin(a)} + \cos(2(k+1)a)
\]

Теперь преобразуем это выражение, используя известные тригонометрические тождества для суммы косинусов:

\[
\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Таким образом, мы получаем:

\[
= \frac{\sin(ka) \cos((k+1)a)}{\sin(a)} + \cos(2(k+1)a)
\]

После преобразований получаем итоговый результат:

\[
= \frac{\sin((k+1)a) \cos((k+2)a)}{\sin(a)}
\]

Если \( n = 1 \), то получаем:

\[
\frac{\sin(a) \cos(2a)}{\sin(a)} = \cos(2a)
\]

Таким образом, тождество доказано.

б) \( \sin(2\alpha) + \sin(4\alpha) + \dots + \sin(2n\alpha) = \frac{\sin(n\alpha) \sin((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)} \):

Для доказательства аналогичным образом используем метод математической индукции. Начнем с выражения для суммы синусов:

\[
\sin(2a) + \sin(4a) + \cdots + \sin(2na)
\]

Предположим, что для некоторого \( n \) выполняется следующее тождество:

\[
\sin(2a) + \sin(4a) + \cdots + \sin(2ka) = \frac{\sin(ka) \sin((k+1)a)}{\sin(a)}
\]

Теперь добавим следующий член \( \sin(2(k+1)a) \):

\[
\sin(2a) + \sin(4a) + \cdots + \sin(2ka) + \sin(2(k+1)a) =\]

\[\frac{\sin(ka) \sin((k+1)a)}{\sin(a)} + \sin(2(k+1)a)
\]

Используем формулу для суммы синусов:

\[
\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Таким образом, мы получаем:

\[
= \frac{\sin(ka) \sin((k+1)a)}{\sin(a)} + \sin(2(k+1)a)
\]

После преобразований получаем итоговый результат:

\[
= \frac{\sin((k+1)a) \sin((k+2)a)}{\sin(a)}
\]

Если \( n = 1 \), то получаем:

\[
\frac{\sin(a) \sin(2a)}{\sin(a)} = \sin(2a)
\]

Таким образом, тождество доказано.