ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1554 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростить выражение:

\( \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2a}}  \)

Упростить выражение:

\( \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2a}} = \)

\( = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos a}} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{a}{2}} = \)

\( = \sqrt{\cos^2 \frac{a}{4}} = \cos \frac{a}{4}, \quad 0 \leq a \leq \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( \cos \frac{a}{4}. \)

Задача

Упростите выражение:

\[
\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2a)}}
\]

Ответ

Шаг 1: Начнем с упрощения самого выражения. Рассмотрим его вначале как целое:

\[
\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2a)}}
\]

Мы видим, что в этом выражении есть несколько вложенных корней, и наша задача — пошагово их упростить.

Для начала сосредоточимся на внутреннем корне. Мы видим, что под первым корнем стоит выражение:

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2a)
\]

Теперь вспомним тригонометрическое тождество для косинуса удвоенного угла: \( \cos(2a) = 2\cos^2(a) — 1 \). Подставим это тождество в выражение:

\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(2 \cos^2(a) — 1\right) = \frac{1}{2} + \cos^2(a) — \frac{1}{2}
\]

Упростим это выражение:

\[
= \cos^2(a)
\]

Теперь у нас под первым корнем появляется \( \cos^2(a) \), и выражение принимает вид:

\[
\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos^2(a)}
\]

Шаг 2: Переходим ко второму корню. Преобразуем выражение под корнем, вынося \( \frac{1}{2} \) за скобки:

\[
= \sqrt{\frac{1}{2} \left(1 + \cos^2(a)\right)}
\]

Далее упростим выражение под корнем, используя половинный угол для \( \cos^2(a) \). Мы получаем выражение, которое можно представить как \( \cos\left(\frac{a}{2}\right) \). Подставим это в выражение:

\[
= \sqrt{\cos^2\left(\frac{a}{4}\right)}
\]

Шаг 3: Мы видим, что под корнем у нас квадрат косинуса, что позволяет нам извлечь квадратный корень:

\[
= \cos\left(\frac{a}{4}\right)
\]

Ответ: Таким образом, упрощенное выражение равно:

\[
\cos\left(\frac{a}{4}\right)
\]