ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1553 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

\[
8 \cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ).
\]

Найти значение выражения:

\( 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \)

\( = \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin(180^\circ — 160^\circ)} =\)

\(\frac{\sin 160^\circ}{\sin 160^\circ} = 1; \)

Ответ: 1.

Задача

Найдите значение выражения:

\[
8 \cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ)
\]

Ответ

Шаг 1:

Начнем с преобразования выражения:

\[
8 \cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ)
\]

Используем тригонометрическое тождество для произведения косинусов. Умножим и разделим на \( \sin(20^\circ) \), что даст возможность упростить выражение:

\[
8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{8 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}
\]

Шаг 2:

Теперь используем тождество для синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) для \( \sin 40^\circ \), чтобы упростить выражение:

\[
= \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}
\]

Шаг 3:

Теперь используем тождество для синуса двойного угла для \( \sin 80^\circ \), где \( \sin 80^\circ = 2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \):

\[
= \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}
\]

Шаг 4:

Теперь у нас выражение, где числитель и знаменатель содержат одинаковые синусы \( \sin 160^\circ \) (так как \( \sin(180^\circ — x) = \sin(x) \)):

\[
= \frac{\sin 160^\circ}{\sin 160^\circ}
\]

Шаг 5:

Итак, выражение упрощается до:

\[
= 1
\]

Ответ: \( 1 \)