ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1552 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \( \alpha + \beta + \gamma = \delta \), то

\[
\frac{\sin(\alpha) + \sin(\beta) — \sin(\gamma)}{\sin(\alpha) + \sin(\beta) + \sin(\gamma)} = \tan\left(\frac{\delta}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\delta}{2}\right).
\]

Известно следующее:

\( \alpha + \beta + \gamma = \pi; \)

\( \gamma = \pi — (\alpha + \beta); \)

Докажем данное равенство:

\( \frac{\sin \alpha + \sin \beta — \sin \gamma}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta — \sin(\pi — (\alpha + \beta))}{\sin \alpha + \sin \beta — \sin(\pi — (\alpha + \beta))} = \)

\( = \frac{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha — \beta}{2} — 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha — \beta}{2} + 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \)

\( = \frac{\cos \frac{\alpha — \beta}{2} — \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha — \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}; \)

Что и требовалось доказать.

Задача

Докажите, что если \( \alpha + \beta + \gamma = \delta \), то

\[
\frac{\sin(\alpha) + \sin(\beta) — \sin(\gamma)}{\sin(\alpha) + \sin(\beta) + \sin(\gamma)} = \tan\left(\frac{\delta}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\delta}{2}\right)
\]

Ответ

Известно следующее:

\[
\alpha + \beta + \gamma = \delta
\]

Или, эквивалентно:

\[
\gamma = \pi — (\alpha + \beta)
\]

Доказательство:

Исходное выражение:

\[
\frac{\sin(\alpha) + \sin(\beta) — \sin(\gamma)}{\sin(\alpha) + \sin(\beta) + \sin(\gamma)}
\]

Подставим выражение для \( \gamma = \pi — (\alpha + \beta) \):

\[
= \frac{\sin(\alpha) + \sin(\beta) — \sin(\pi — (\alpha + \beta))}{\sin(\alpha) + \sin(\beta) + \sin(\pi — (\alpha + \beta))}
\]

Используем тождество \( \sin(\pi — x) = \sin(x) \), получаем:

\[
= \frac{\sin(\alpha) + \sin(\beta) — \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha) + \sin(\beta) + \sin(\alpha + \beta)}
\]

Теперь применим формулу для суммы синусов:

\[
\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)
\]

И преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы для синусов и косинусов:

\[
= \frac{2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) — 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}
\]

Выносим \( 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \) за скобки:

\[
= \frac{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left( \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) — \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)}{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left( \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)}
\]

Сокращаем \( 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \) в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{\cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) — \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}
\]

Теперь применим формулу для разности и суммы косинусов:

\[
\cos(A) — \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\[
\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Подставляем в наше выражение:

\[
= \frac{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}
\]

Сокращаем 2 в числителе и знаменателе:

\[
= \frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)
\]

Теперь, заметим, что \( \delta = \alpha + \beta + \gamma = \pi \), поэтому \( \frac{\delta}{2} = \frac{\pi}{2} \), и мы можем выразить конечный результат как:

\[
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)
\]

Тождество доказано.