ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1551 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите \( \sin(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha + \beta) \), если \( \sin(\alpha) + \sin(\beta) = m \) и \( \cos(\alpha) + \cos(\beta) = q \).

Известно следующее:

\( \sin a + \sin \beta = m; \)

\( \cos a + \cos \beta = q; \)

1) Значение тангенса:

\( m = \sin a \sin \beta = 2 \sin \frac{a + \beta}{2} \cos \frac{a — \beta}{2}; \)

\( q = \cos a \cos \beta = 2 \cos \frac{a + \beta}{2} \cos \frac{a — \beta}{2}; \)

\( \tan \frac{a + \beta}{2} = \frac{\sin \frac{a + \beta}{2}}{\cos \frac{a + \beta}{2}} = \frac{m}{q}; \)

2) Значения функций:

\( \sin(a + \beta) = \frac{2 \tan \frac{a + \beta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a + \beta}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{m}{q}}{1 + \frac{m^2}{q^2}} = \frac{2mq}{q^2 + m^2}; \)

\( \cos(a + \beta) = \frac{1 — \tan^2 \frac{a + \beta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{a + \beta}{2}} = \frac{1 — \frac{m^2}{q^2}}{1 + \frac{m^2}{q^2}} = \frac{q^2 — m^2}{q^2 + m^2}; \)

Ответ: \( \frac{2mq}{q^2 + m^2}, \frac{q^2 — m^2}{q^2 + m^2}. \)

Задача

Найдите \( \sin(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha + \beta) \), если \( \sin(\alpha) + \sin(\beta) = m \) и \( \cos(\alpha) + \cos(\beta) = q \).

Ответы

Известно следующее:

\[
\sin(\alpha) + \sin(\beta) = m, \quad \cos(\alpha) + \cos(\beta) = q
\]

1) Значение тангенса:

Для начала используем формулы для суммы синусов и косинусов:

\[
\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

\[
\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

Заменим \( \sin(\alpha) + \sin(\beta) = m \) и \( \cos(\alpha) + \cos(\beta) = q \), получаем:

\[
m = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

\[
q = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

Теперь можем выразить тангенс половинного угла:

\[
\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} = \frac{m}{q}
\]

2) Значения функций:

Теперь найдем \( \sin(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha + \beta) \). Используем формулы для синуса и косинуса суммы углов через тангенс половинного угла:

\[
\sin(\alpha + \beta) = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}
\]

Подставим \( \tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{m}{q} \):

\[
\sin(\alpha + \beta) = \frac{2 \cdot \frac{m}{q}}{1 + \left(\frac{m}{q}\right)^2} = \frac{2mq}{q^2 + m^2}
\]

Теперь для косинуса:

\[
\cos(\alpha + \beta) = \frac{1 — \tan^2\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}
\]

Подставляем \( \tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{m}{q} \):

\[
\cos(\alpha + \beta) = \frac{1 — \left(\frac{m}{q}\right)^2}{1 + \left(\frac{m}{q}\right)^2} = \frac{q^2 — m^2}{q^2 + m^2}
\]

Ответ:

\[
\sin(\alpha + \beta) = \frac{2mq}{q^2 + m^2}, \quad \cos(\alpha + \beta) = \frac{q^2 — m^2}{q^2 + m^2}
\]