ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1550 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \frac{\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha)}{\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)} = \tan(3\alpha) \);

б) \( \frac{\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) — \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha)}{\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) — \sin(4\alpha) + \sin(5\alpha)} = \cot(3\alpha) \).

Доказать тождество:

а) \( \sin a + \sin 3a + \sin 5a = \tan 3a; \)

\( \frac{\sin 3a + 2 \sin 3a \cos 2a}{\cos 3a + 2 \cos 3a \cos 2a} = \tan 3a; \)

\( \frac{\sin 3a (1 + 2 \cos 2a)}{\cos 3a (1 + 2 \cos 2a)} = \tan 3a; \)

\( \frac{\sin 3a}{\cos 3a} = \tan 3a; \)

Тождество доказано.

б) \( \frac{\cos a — \cos 2a — \cos 4a — \cos 5a}{\sin a — \sin 2a — \sin 4a + \sin 5a} = \cot 3a; \)

\( \frac{2 \cos 3a \cos 2a — 2 \cos 3a \cos a}{2 \sin 3a \cos 2a — 2 \sin 3a \cos a} = \cot 3a; \)

\( \frac{2 \cos 3a (\cos 2a — \cos a)}{2 \sin 3a (\cos 2a — \cos a)} = \cot 3a; \)

\( \frac{\cos 3a}{\sin 3a} = \cot 3a; \)

Тождество доказано.

Задача

Докажите тождество:

• а) \( \frac{\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha)}{\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)} = \tan(3\alpha) \);
• б) \( \frac{\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) — \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha)}{\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) — \sin(4\alpha) + \sin(5\alpha)} = \cot(3\alpha) \).

Ответы

а) \( \frac{\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha)}{\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)} = \tan(3\alpha) \):

Применим формулы для суммы синусов и косинусов:

\[
\sin(A + B) = \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B)
\]

\[
\cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) — \sin(A) \sin(B)
\]

Начнем с выражения в числителе \( \sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha) \). Применяем формулу для суммы синусов для \( \sin(\alpha) + \sin(3\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + 3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — 3\alpha}{2}\right) = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)
\]

Теперь добавляем \( \sin(5\alpha) \) к результату:

\[
\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha) = 2 \cos(\alpha) \cdot \sin(2\alpha) + \sin(5\alpha)
\]

Применим формулу для суммы синусов для \( \sin(2\alpha) + \sin(5\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) + \sin(5\alpha) = 2 \sin\left(\frac{2\alpha + 5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{2\alpha — 5\alpha}{2}\right) =\]

\[2 \sin\left(\frac{7\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{-3\alpha}{2}\right)
\]

Таким образом, числитель преобразуется в:

\[
\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha) = 2 \sin(3\alpha) \cos(2\alpha)
\]

Теперь рассмотрим знаменатель \( \cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha) \). Используем формулу для суммы косинусов для \( \cos(\alpha) + \cos(5\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) + \cos(5\alpha) =\]

\[2 \cos\left(\frac{\alpha + 5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — 5\alpha}{2}\right)\]

\[= 2 \cos(3\alpha) \cos(2\alpha)
\]

Теперь добавляем \( \cos(3\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha) = 2 \cos(3\alpha) \cos(2\alpha)
\]

Теперь мы имеем:

\[
\frac{\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) + \sin(5\alpha)}{\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)} =\]

\[\frac{2 \cos(2\alpha) \sin(3\alpha)}{2 \cos(2\alpha) \cos(3\alpha)} = \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \tan(3\alpha)
\]

Тождество доказано.

б) \( \frac{\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) — \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha)}{\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) — \sin(4\alpha) + \sin(5\alpha)} = \cot(3\alpha) \):

Рассмотрим числитель \( \cos(\alpha) — \cos(2\alpha) — \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha) \). Для начала используем формулу для разности косинусов:

\[
\cos(A) — \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Применим эту формулу для \( \cos(\alpha) — \cos(2\alpha) \) и \( \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) = -2 \sin\left(\frac{\alpha + 2\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha — 2\alpha}{2}\right) =\]

\[-2 \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-\alpha}{2}\right)
\]

\[
\cos(4\alpha) — \cos(5\alpha) = -2 \sin\left(\frac{4\alpha + 5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{4\alpha — 5\alpha}{2}\right) =\]

\[-2 \sin\left(\frac{9\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-\alpha}{2}\right)
\]

Теперь добавляем выражения:

\[
\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) — \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha) = 2 \cos(3\alpha) \left(\cos(\alpha) — \cos(2\alpha)\right)
\]

Теперь рассматриваем знаменатель \( \sin(\alpha) — \sin(2\alpha) — \sin(4\alpha) + \sin(5\alpha) \). Для этого применим формулу для разности синусов:

\[
\sin(A) — \sin(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Используем эту формулу для \( \sin(\alpha) — \sin(2\alpha) \) и \( \sin(4\alpha) — \sin(5\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) = 2 \cos\left(\frac{\alpha + 2\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha — 2\alpha}{2}\right) =\]

\[2 \cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-\alpha}{2}\right)
\]

\[
\sin(4\alpha) — \sin(5\alpha) = 2 \cos\left(\frac{4\alpha + 5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{4\alpha — 5\alpha}{2}\right) =\]

\[2 \cos\left(\frac{9\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-\alpha}{2}\right)
\]

Преобразуем и получаем:

\[
\frac{\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) — \cos(4\alpha) — \cos(5\alpha)}{\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) — \sin(4\alpha) + \sin(5\alpha)} = \frac{\cos(3\alpha)}{\sin(3\alpha)} = \cot(3\alpha)
\]

Тождество доказано