ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1549 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \( \sin(\alpha) + \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) \);

б) \( \sin(\alpha) — \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) \);

в) \( \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) \);

г) \( \cos(\alpha) — \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) \).

Преобразовать в произведение:

а) \( \sin a + \sin 2a + \sin 3a = 2 \cos a \cdot (\sin a + \sin 2a) =\)

\(4 \cos a \sin \frac{3a}{2} \cos \frac{a}{2}; \)

б) \( \sin a — \sin 2a + \sin 3a = 2 \cos a \cdot (\sin 2a — \sin a) =\)

\(4 \cos a \sin \frac{a}{2} \cos \frac{3a}{2}; \)

в) \( \cos a + \cos 2a + \cos 3a = \cos 2a (1 + 2 \cos a) =\)

\(2 \cos 2a \left(\cos \frac{\pi}{3} + \cos a\right) = \)

\( = 4 \cos 2a \cos \left(\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} — \frac{a}{2}\right); \)

г) \( \cos a — \cos 2a + \cos 3a = 2 \cos 2a (2 \cos a — 1) =\)

\(2 \cos 2a \left(\cos a — \cos \frac{\pi}{3}\right) = \)

\( = 4 \cos 2a \sin \left(\frac{\pi}{6} — \frac{a}{2}\right) \sin \left(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}\right); \)

Задача

Представьте в виде произведения:

• а) \( \sin(\alpha) + \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) \);
• б) \( \sin(\alpha) — \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) \);
• в) \( \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) \);
• г) \( \cos(\alpha) — \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) \).

Ответы

а) \( \sin(\alpha) + \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) \):

Для начала, применим формулу для суммы синусов:

\[
\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Рассмотрим сначала \( \sin(\alpha) + \sin(3\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) + \sin(3\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + 3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — 3\alpha}{2}\right) = 2 \sin(2\alpha) \cos(\alpha)
\]

Теперь добавляем \( \sin(2\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) + \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) = 2 \cos(\alpha) \cdot (\sin(\alpha) + \sin(2\alpha))
\]

Используем снова формулу для суммы синусов для \( \sin(\alpha) + \sin(2\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) + \sin(2\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha + 2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — 2\alpha}{2}\right) =\]

\[2 \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{-\alpha}{2}\right)
\]

Итак, результат будет:

\[
= 4 \cos(\alpha) \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]

б) \( \sin(\alpha) — \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) \):

Применим формулу для разности синусов для \( \sin(\alpha) — \sin(2\alpha) \):

\[
\sin(A) — \sin(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Подставляем \( A = 2\alpha \), \( B = \alpha \):

\[
\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) = 2 \cos\left(\frac{2\alpha + \alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha — \alpha}{2}\right) =\]

\[2 \cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]

Теперь добавляем \( \sin(3\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) — \sin(2\alpha) + \sin(3\alpha) = 4 \cos(\alpha) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{3\alpha}{2}\right)
\]

в) \( \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) \):

Для суммы косинусов применим формулу для косинусов:

\[
\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Для \( \cos(\alpha) + \cos(3\alpha) \) получаем:

\[
\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) = 2 \cos\left(\frac{\alpha + 3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha — 3\alpha}{2}\right) =\]

\[2 \cos(2\alpha) \cos(\alpha)
\]

Теперь добавляем \( \cos(2\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) = \cos(2\alpha) \left( 1 + 2 \cos(\alpha) \right)
\]

Используем формулу для суммы косинусов для \( 1 + 2 \cos(\alpha) \), преобразуя это в произведение:

\[
= 2 \cos(2\alpha) \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(\alpha) \right)
\]

Результат:

\[
= 4 \cos(2\alpha) \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} — \frac{\alpha}{2}\right)
\]

г) \( \cos(\alpha) — \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) \):

Для этого выражения применим формулу для разности косинусов:

\[
\cos(A) — \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Рассмотрим \( \cos(\alpha) — \cos(2\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) = -2 \sin\left(\frac{\alpha + 2\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha — 2\alpha}{2}\right) =\]

\[-2 \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-\alpha}{2}\right)
\]

Теперь добавим \( \cos(3\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) — \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha) = 2 \cos(2\alpha) \left(2 \cos(\alpha) — 1\right)
\]

Применим снова разность косинусов для \( 2 \cos(\alpha) — 1 \):

\[
= 2 \cos(2\alpha) \left( \cos(\alpha) — \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)
\]

Итоговое преобразование:

\[
= 4 \cos(2\alpha) \sin\left(\frac{\pi}{6} — \frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)
\]