ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1548 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях \( \alpha \) и \( \beta \) верно равенство:

а) \( \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) = \cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha — \beta) \);

б) \( \sin^2(\alpha + \beta) — \sin^2(\alpha — \beta) = \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\beta) \).

Доказать тождество:

а) \( \cos^2 a — \sin^2 \beta = \cos(a + \beta) \cos(a — \beta); \)

Правая часть равенства:

\( \cos(a + \beta) \cos(a — \beta) = \frac{\cos 2a + \cos 2\beta}{2} = \)

\( = \frac{2 \cos^2 a — 1 + 1 — 2 \sin^2 \beta}{2} = \cos^2 a — \sin^2 \beta \)

Тождество доказано.

б) \( \sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \sin 2\beta; \)

Левая часть равенства:

\( \sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \)

\( = (\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)) = \)

\( = 2 \sin \frac{2\beta}{2} \cos \frac{2a}{2} \cdot 2 \sin \frac{2a}{2} \cos \frac{2\beta}{2} = \sin 2a \cdot \sin 2\beta; \)

Тождество доказано.

Задача

Докажите, что при любых значениях \( \alpha \) и \( \beta \) верно равенство:

• а) \( \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) = \cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha — \beta) \);
• б) \( \sin^2(\alpha + \beta) — \sin^2(\alpha — \beta) = \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\beta) \).

Ответы

а) \( \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) = \cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha — \beta) \):

Рассмотрим правую часть равенства \( \cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha — \beta) \). Используем формулу для произведения косинусов:

\[
\cos(A) \cos(B) = \frac{\cos(A + B) + \cos(A — B)}{2}
\]

Подставляем \( A = \alpha + \beta \) и \( B = \alpha — \beta \):

\[
\cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha — \beta) = \frac{\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)}{2}
\]

Теперь преобразуем левую часть равенства \( \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) \). Это известная формула для косинуса удвоенного угла:

\[
\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) = \cos(2\alpha)
\]

Теперь у нас есть:

\[
\cos(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)}{2}
\]

И, соответственно, у нас результат совпадает, и тождество доказано.

б) \( \sin^2(\alpha + \beta) — \sin^2(\alpha — \beta) = \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\beta) \):

Рассмотрим левую часть выражения \( \sin^2(\alpha + \beta) — \sin^2(\alpha — \beta) \). Это выражение можно представить как разность квадратов:

\[
\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) =\]

\[(\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta))
\]

Используем формулы для суммы и разности синусов:

\[
\sin(A + B) = \sin(A) \cos(B) + \cos(A) \sin(B)
\]

\[
\sin(A — B) = \sin(A) \cos(B) — \cos(A) \sin(B)
\]

Подставляем в наш выражение для разности синусов:

\[
= 2 \sin\left(\frac{2\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{2a}{2}\right) \cdot 2 \sin\left(\frac{2a}{2}\right) \cos\left(\frac{2\beta}{2}\right)
\]

Теперь упрощаем выражение:

\[
= \sin(2a) \cdot \sin(2\beta)
\]

Итак, тождество доказано.