ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1547 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \frac{\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha) + \sin(\beta)} \);

б) \( \frac{\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha — \beta)}{\cos(\alpha) — \cos(\beta)} \).

Упростить выражение:

а) \( \frac{\sin(a + \beta) \sin(a — \beta)}{\sin a + \sin \beta} = \frac{\cos 2\beta — \cos 2a}{2(\sin a + \sin \beta)} = \)

\( = \frac{1 — 2 \sin^2 \beta — (1 — 2 \sin^2 a)}{2(\sin a + \sin \beta)} = \frac{\sin^2 a — \sin^2 \beta}{\sin a + \sin \beta} = \)

\( = \frac{(\sin a — \sin \beta)(\sin a + \sin \beta)}{\sin a + \sin \beta} = \sin a — \sin \beta; \)

б) \( \frac{\cos(a + \beta) \cos(a — \beta)}{\cos a — \cos \beta} = \frac{\cos 2a + \cos 2\beta}{2(\cos a — \cos \beta)} = \)

\( = \frac{2 \cos^2 a — 1 + 2 \cos^2 \beta — 1}{2(\cos a — \cos \beta)} = \frac{\cos^2 a + \cos^2 \beta — 1}{\cos a — \cos \beta}; \)

Задача

Упростите выражение:

• а) \( \frac{\sin(a + \beta) \sin(a — \beta)}{\sin a + \sin \beta} \);
• б) \( \frac{\cos(a + \beta) \cos(a — \beta)}{\cos a — \cos \beta} \).

Ответы

а) \( \frac{\sin(a + \beta) \sin(a — \beta)}{\sin a + \sin \beta} \):

Для начала используем формулы для суммы и разности синусов:

\[
\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)
\]

\[
\sin(x — y) = \sin(x) \cos(y) — \cos(x) \sin(y)
\]

Теперь применим эти формулы для \( \sin(a + \beta) \) и \( \sin(a — \beta) \), а затем их произведение:

\[
\frac{\sin(a + \beta) \sin(a — \beta)}{\sin a + \sin \beta} =\]

\[\frac{(\cos(\beta) \sin(a) +\sin(\beta) \cos(a))(\cos(\beta) \sin(a) — \sin(\beta) \cos(a))}{\sin a + \sin \beta}
\]

Применяя формулу для разности квадратов \( (x + y)(x — y) = x^2 — y^2 \), получаем:

\[
= \frac{\cos^2(\beta) \sin^2(a) — \sin^2(\beta) \cos^2(a)}{\sin a + \sin \beta}
\]

Используем тождество для \( \cos^2(x) = 1 — \sin^2(x) \), чтобы упростить выражение:

\[
= \frac{1 — 2 \sin^2(\beta) — (1 — 2 \sin^2(a))}{2(\sin a + \sin \beta)}
\]

Упрощаем числитель:

\[
= \frac{\sin^2(a) — \sin^2(\beta)}{\sin a + \sin \beta}
\]

Теперь используем формулу разности квадратов для числителя:

\[
= \frac{(\sin a — \sin \beta)(\sin a + \sin \beta)}{\sin a + \sin \beta}
\]

И сокращаем \( \sin a + \sin \beta \) в числителе и знаменателе:

\[
= \sin a — \sin \beta
\]

Итак, итоговое упрощенное выражение:

\[
\sin(a + \beta) \sin(a — \beta) / (\sin a + \sin \beta) = \sin a — \sin \beta
\]

б) \( \frac{\cos(a + \beta) \cos(a — \beta)}{\cos a — \cos \beta} \):

Используем формулы для суммы и разности косинусов:

\[
\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) — \sin(x) \sin(y)
\]

\[
\cos(x — y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)
\]

Теперь применим эти формулы для \( \cos(a + \beta) \) и \( \cos(a — \beta) \), а затем их произведение:

\[
\frac{\cos(a + \beta) \cos(a — \beta)}{\cos a — \cos \beta} =\]

\[\frac{(\cos(a) \cos(\beta) -\sin(a) \sin(\beta))(\cos(a) \cos(\beta) + \sin(a) \sin(\beta))}{\cos a — \cos \beta}
\]

Применяем формулу для разности квадратов:

\[
= \frac{\cos^2(a) \cos^2(\beta) — \sin^2(a) \sin^2(\beta)}{\cos a — \cos \beta}
\]

Используем тождество \( \cos^2(x) = 1 — \sin^2(x) \) для упрощения числителя:

\[
= \frac{2 \cos^2(a) — 1 + 2 \cos^2(\beta) — 1}{2(\cos a — \cos \beta)}
\]

Теперь упростим числитель:

\[
= \frac{\cos^2(a) + \cos^2(\beta) — 1}{\cos a — \cos \beta}
\]

Итак, итоговое упрощенное выражение:

\[
\frac{\cos(a + \beta) \cos(a — \beta)}{\cos a — \cos \beta} = \frac{\cos^2(a) + \cos^2(\beta) — 1}{\cos a — \cos \beta}
\]