ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1546 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте в произведение:

а) \( \sin(30^\circ — \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) + \cos(3\alpha) \);

б) \( \cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ — \alpha) + \sqrt{2} \cos(3\alpha) \).

Преобразовать в произведение:

а) \( \sin(30^\circ — a) + \sin(30^\circ + a) + \cos 3a = \)

\( = 2 \sin 30^\circ \cos a — \sin a \cos 30^\circ + \sin a \cos 30^\circ + \cos 3a = \)

\( = 2 \sin 30^\circ \cos a + \cos 3a = \cos a + \cos 3a = 2 \cos 2a \cos a; \)

б) \( \cos(45^\circ + a) + \cos(45^\circ — a) + \sqrt{2} \cos 3a = \)

\( = \cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a +\)

\(\cos 45^\circ \cos a + \sin 45^\circ \sin a + \sqrt{2} \cos 3a = \)

\( = 2 \cos 45^\circ \cos a + \sqrt{2} \cos 3a =\)

\(\sqrt{2} (\cos a + \cos 3a) = 2\sqrt{2} \cos 2a \cos a; \)

Задача

Преобразуйте в произведение:

• а) \( \sin(30^\circ — \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) + \cos(3\alpha) \);
• б) \( \cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ — \alpha) + \sqrt{2} \cos(3\alpha) \).

Ответы

а) \( \sin(30^\circ — \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) + \cos(3\alpha) \):

Для начала применим формулы для суммы синусов:

\[
\sin(A — B) + \sin(A + B) = 2 \sin(A) \cos(B)
\]

Подставим в эту формулу \( A = 30^\circ \) и \( B = \alpha \):

\[
\sin(30^\circ — \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) = 2 \sin(30^\circ) \cos(\alpha)
\]

Так как \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), получаем:

\[
2 \sin(30^\circ) \cos(\alpha) = \cos(\alpha)
\]

Теперь добавим \( \cos(3\alpha) \) к выражению:

\[
\cos(\alpha) + \cos(3\alpha)
\]

Используем формулу для суммы косинусов:

\[
\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Подставляем \( A = 3\alpha \) и \( B = \alpha \):

\[
\cos(\alpha) + \cos(3\alpha) = 2 \cos(2\alpha) \cos(\alpha)
\]

Итак, итоговый результат:

\[
\sin(30^\circ — \alpha) + \sin(30^\circ + \alpha) + \cos(3\alpha) = 2 \cos(2\alpha) \cos(\alpha)
\]

б) \( \cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ — \alpha) + \sqrt{2} \cos(3\alpha) \):

Для начала применим формулы для суммы косинусов:

\[
\cos(A + B) + \cos(A — B) = 2 \cos(A) \cos(B)
\]

Подставим \( A = 45^\circ \) и \( B = \alpha \):

\[
\cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ — \alpha) = 2 \cos(45^\circ) \cos(\alpha)
\]

Так как \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:

\[
2 \cos(45^\circ) \cos(\alpha) = \sqrt{2} \cos(\alpha)
\]

Теперь добавим \( \sqrt{2} \cos(3\alpha) \) к выражению:

\[
\sqrt{2} \cos(\alpha) + \sqrt{2} \cos(3\alpha)
\]

Используем формулу для суммы косинусов:

\[
\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Подставляем \( A = 3\alpha \) и \( B = \alpha \):

\[
\sqrt{2} \cos(\alpha) + \sqrt{2} \cos(3\alpha) = \sqrt{2} \cdot 2 \cos(2\alpha) \cos(\alpha)
\]

Итак, итоговый результат:

\[
\cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ — \alpha) + \sqrt{2} \cos(3\alpha) = 2\sqrt{2} \cos(2\alpha) \cos(\alpha)
\]