ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1545 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \( 1 — \cos^2(x) — \cos^2(y) \);

б) \( 1 — \sin^2(x) — \cos^2(y) \);

в) \( 1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \);

г) \( 1 — \sin(\alpha) — \cos(\alpha) \).

Преобразовать в произведение:

а) \( 1 — \cos^2 x — \cos^2 y = \sin^2 x — \cos^2 y = \)

\( = \cos^2\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — \cos^2 y = \left(\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — \cos y\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) + \cos y\right) = \)

\( = -4 \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{y}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} — \frac{y}{2}\right) = \)

\( = -\sin\left(\frac{\pi}{2} — x — y\right) \sin\left(\frac{\pi}{2} — x + y\right) = -\cos(x + y) \cos(x — y); \)

б) \( 1 — \sin^2 x — \cos^2 y = \sin^2 y — \sin^2 x = (\sin y — \sin x)(\sin y + \sin x) = \)

\( = 4 \sin\frac{y — x}{2} \cos\frac{y + x}{2} \sin\frac{y + x}{2} \cos\frac{y — x}{2} = \sin(y — x) \sin(y + x); \)

в) \( 1 + \sin a + \cos a = 1 + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a\right) = \)

\( = 1 + \sqrt{2}\left(\sin a \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} \cos a\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \)

\( = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} + \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\frac{a}{2}; \)

г) \( 1 — \sin a — \cos a = 1 — \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a\right) =\)

\(\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} — \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \)

\( = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} — \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -2\sqrt{2} \sin\frac{a}{2} \cos\left(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{4}\right); \)

Задача

Представьте в виде произведения:

• а) \( 1 — \cos^2(x) — \cos^2(y) \);
• б) \( 1 — \sin^2(x) — \cos^2(y) \);
• в) \( 1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \);
• г) \( 1 — \sin(\alpha) — \cos(\alpha) \).

Ответы

а) \( 1 — \cos^2(x) — \cos^2(y) \):

Начнем с преобразования выражения \( 1 — \cos^2(x) — \cos^2(y) \). Применим тождество \( \cos^2(z) = 1 — \sin^2(z) \) для замены \( \cos^2(x) \) и \( \cos^2(y) \):

\[
1 — \cos^2(x) — \cos^2(y) = \sin^2(x) — \cos^2(y)
\]

Далее преобразуем это выражение, используя разность квадратов:

\[
= \cos^2\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — \cos^2(y)
\]

Теперь примем разность квадратов для получения следующего результата:

\[
= \left(\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — \cos(y)\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) + \cos(y)\right)
\]

Теперь преобразуем это выражение, используя тригонометрические функции для половинных углов. Получаем более сложную форму:

\[
= -4 \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{y}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} — \frac{y}{2}\right)
\]

И итоговое представление этого выражения в виде произведения:

\[
= -\cos(x + y) \cos(x — y)
\]

б) \( 1 — \sin^2(x) — \cos^2(y) \):

Теперь рассмотрим второе выражение: \( 1 — \sin^2(x) — \cos^2(y) \). Преобразуем его следующим образом:

\[
1 — \sin^2(x) — \cos^2(y) = \sin^2(y) — \sin^2(x)
\]

Теперь примем разность квадратов для синусов:

\[
= (\sin y — \sin x)(\sin y + \sin x)
\]

Затем преобразуем это выражение, применяя тригонометрические тождества для половинных углов:

\[
= 4 \sin\left(\frac{y — x}{2}\right) \cos\left(\frac{y + x}{2}\right) \sin\left(\frac{y + x}{2}\right) \cos\left(\frac{y — x}{2}\right)
\]

Итак, итоговое выражение будет следующим:

\[
= \sin(y — x) \sin(y + x)
\]

в) \( 1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \):

Для этого выражения представим его через сочетание синуса и косинуса, а затем преобразуем в форму, удобную для представления в виде произведения. Начнем с выражения:

\[
1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha) = 1 + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha)\right)
\]

Используем формулы для суммы углов, представив это выражение как результат суммы синусов и косинусов для половинных углов. Преобразуем:

\[
= 1 + \sqrt{2}\left(\sin(\alpha) \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} \cos(\alpha)\right)
\]

Продолжая преобразования, получаем следующее выражение:

\[
= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right)
\]

И итоговое представление этого выражения в виде произведения:

\[
= 2\sqrt{2} \sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cos\frac{\alpha}{2}
\]

г) \( 1 — \sin(\alpha) — \cos(\alpha) \):

Для последнего выражения, аналогично предыдущим, применим технику представления синуса и косинуса в виде суммы. Начнем с преобразования:

\[
1 — \sin(\alpha) — \cos(\alpha) = 1 — \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\alpha)\right)
\]

Продолжая преобразования:

\[
= \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} — \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\right)
\]

И далее преобразуем это выражение в конечную форму:

\[
= -2\sqrt{2} \sin\frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right)
\]