ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1544 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \cos(\alpha) \left( \cos(\alpha) — \cos(\beta) \right) + \sin(\alpha) \left( \sin(\alpha) — \sin(\beta) \right) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \);

б) \( \left( \sin(\alpha) — \sin(\beta) \right)^2 + \left( \cos(\alpha) — \cos(\beta) \right)^2 = 4\sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \).

Доказать тождество:

а) \( \cos a (\cos a — \cos \beta) + \sin a (\sin a — \sin \beta) = 2 \sin^2 \frac{a — \beta}{2}; \)

\( \cos^2 a — \cos a \cos \beta + \sin^2 a — \sin a \sin \beta = 2 \sin^2 \frac{a — \beta}{2}; \)

\( 1 — (\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) = 1 — \left(1 — 2 \sin^2 \frac{a — \beta}{2}\right); \)

\( 1 — \cos(a — \beta) = 1 — \cos(a — \beta); \)

Тождество доказано.

б) \( (\sin a — \sin \beta)^2 + (\cos a — \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{a — \beta}{2}; \)

\( 1 — 2 \sin a \cdot \sin \beta + 1 — 2 \cos a \cdot \cos \beta = 4 \sin^2 \frac{a — \beta}{2}; \)

\( 2 — 2(\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) = 2 — 2\left(1 — 2 \sin^2 \frac{a — \beta}{2}\right); \)

\( 2 — 2 \cos(a — \beta) = 2 — 2 \cos(a — \beta); \)

Тождество доказано.

Задача

Докажите тождество:

• а) \( \cos(\alpha) \left( \cos(\alpha) — \cos(\beta) \right) + \sin(\alpha) \left( \sin(\alpha) — \sin(\beta) \right) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \);
• б) \( \left( \sin(\alpha) — \sin(\beta) \right)^2 + \left( \cos(\alpha) — \cos(\beta) \right)^2 = 4\sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \).

Ответы

а) \( \cos(\alpha) \left( \cos(\alpha) — \cos(\beta) \right) + \sin(\alpha) \left( \sin(\alpha) — \sin(\beta) \right) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \):

Рассмотрим левую часть выражения:

\[
\cos(\alpha) (\cos(\alpha) — \cos(\beta)) + \sin(\alpha) (\sin(\alpha) — \sin(\beta)) =\]

\[\cos^2(\alpha) — \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin^2(\alpha) — \sin(\alpha)\sin(\beta)
\]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \):

\[
1 — (\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)) = 1 — \cos(\alpha — \beta)
\]

Теперь используем формулу для косинуса разности углов:

\[
\cos(\alpha — \beta) = 1 — 2 \sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

Подставляем эту формулу в выражение:

\[
1 — (1 — 2 \sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)) = 2 \sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

Итак, тождество доказано.
\( 1 — \cos(a — \beta) = 1 — \cos(a — \beta); \)

б) \( \left( \sin(\alpha) — \sin(\beta) \right)^2 + \left( \cos(\alpha) — \cos(\beta) \right)^2 = 4\sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right) \):

Рассмотрим левую часть выражения:

\[
(\sin(\alpha) — \sin(\beta))^2 + (\cos(\alpha) — \cos(\beta))^2
\]

Раскроем квадратные скобки:

\[
= \sin^2(\alpha) — 2 \sin(\alpha) \sin(\beta) + \sin^2(\beta) +\]

\[\cos^2(\alpha) — 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) + \cos^2(\beta)
\]

Используем тождество \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \) и \( \cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) = 1 \):

\[
= 2 — 2 (\cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta))
\]

Используем формулу для \( \cos(\alpha — \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta) \):

\[
= 2 — 2 \cos(\alpha — \beta)
\]

Теперь используем формулу для косинуса разности углов:

\[
\cos(\alpha — \beta) = 1 — 2 \sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

Подставляем это в выражение:

\[
2 — 2(1 — 2 \sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)) = 4 \sin^2\left(\frac{\alpha — \beta}{2}\right)
\]

Итак, тождество доказано.

\( 2 — 2 \cos(a — \beta) = 2 — 2 \cos(a — \beta); \)