ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1542 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите \( \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), если:

а) \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \);

б) \( \sin(\alpha) = 0{,}28 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Найти половинные углы:

а) \( \cos a = \frac{1}{2}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)

\( \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{1}{2}}{2}} = \frac{1}{2}; \)

\( \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

\( \tan \frac{a}{2} = \sin \frac{a}{2} : \cos \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \)

б) \( \sin a = 0.28, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi; \)

\( \cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \frac{49}{625}} = -\frac{24}{25}; \)

\( \sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}; \)

\( \cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{24}{25}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}; \)

\( \tan \frac{a}{2} = \sin \frac{a}{2} : \cos \frac{a}{2} = 7; \)

Задача

Найдите \( \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), если:

• а) \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \);
• б) \( \sin(\alpha) = 0{,}28 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Ответы

а) \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}, \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \):

Используем формулы для половинного угла:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos a}{2}}
\]

Подставляем \( \cos a = \frac{1}{2} \):

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}} = \frac{1}{2}
\]

Теперь найдем \( \cos\left(\frac{a}{2}\right) \):

\[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Найдем \( \tan\left(\frac{a}{2}\right) \):

\[
\tan\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{a}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Итак, результаты:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2}, \quad \cos\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

б) \( \sin(\alpha) = 0.28, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \):

Для начала найдем \( \cos(\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) = -\sqrt{1 — \sin^2(\alpha)} = -\sqrt{1 — 0.28^2} =\]

\[-\sqrt{1 — 0.0784} = -\sqrt{0.9216} = -\frac{24}{25}
\]

Теперь находим \( \sin\left(\frac{a}{2}\right) \):

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}
\]

Найдем \( \cos\left(\frac{a}{2}\right) \):

\[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}
\]

Найдем \( \tan\left(\frac{a}{2}\right) \):

\[
\tan\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{a}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{10}} = 7
\]

Итак, результаты:

\[
\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{10}, \quad \cos\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{10}, \quad \tan\left(\frac{a}{2}\right) = 7
\]