ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1541 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите \( \sin(2\alpha) \) через \( \tan(\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}.
\]

Выразить через \( \tan a \):

\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a = \frac{2 \sin a \cos^2 a}{\cos a}; \)

\( \sin 2a = 2 \tan a \cos^2 a = 2 \tan a : \frac{1}{\cos^2 a} \)

\( \sin 2a = 2 \tan a : (1 + \tan^2 a) = \frac{2 \tan a}{1 + \tan^2 a}; \)

Ответ: \( \frac{2 \tan a}{1 + \tan^2 a}. \)

Задача

Выразите \( \sin(2\alpha) \) через \( \tan(\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}.
\]

Ответ

Выразим через \( \tan \alpha \):

Начнем с использования стандартной формулы для удвоенного угла синуса:

\[
\sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a)
\]

Теперь выразим \( \sin(a) \) и \( \cos(a) \) через \( \tan(a) \). Зная, что:

\[
\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)},
\]

мы можем выразить \( \sin(a) \) как \( \sin(a) = \tan(a) \cos(a) \). Подставляем это в формулу для \( \sin(2a) \):

\[
\sin(2a) = 2 \left( \tan(a) \cos(a) \right) \cos(a) = 2 \tan(a) \cos^2(a)
\]

Теперь применим тождество \( \cos^2(a) = \frac{1}{1 + \tan^2(a)} \), которое выражает \( \cos(a) \) через \( \tan(a) \):

\[
\sin(2a) = 2 \tan(a) \cdot \frac{1}{1 + \tan^2(a)}
\]

Итак, итоговое выражение:

\[
\sin(2a) = \frac{2 \tan(a)}{1 + \tan^2(a)}
\]

Ответ: \( \frac{2 \tan(a)}{1 + \tan^2(a)} \).