ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1540 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) — 4\sin^3(\alpha) \);

б) \( \cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) — 3\cos(\alpha) \);

в) \( \tan(3\alpha) = \frac{3\tan(\alpha) — \tan^3(\alpha)}{1 — 3\tan^2(\alpha)} \);

г) \( \cot(3\alpha) = \frac{\cot^3(\alpha) — 3\cot(\alpha)}{3\cot^2(\alpha) — 1} \).

Доказать тождество:

а) \( \sin 3a = 3 \sin a — 4 \sin^3 a; \)

Левая часть равенства:

\( \sin 3a = \sin(2a + a) = \sin 2a \cos a + \cos 2a \sin a = \)

\( = 2 \sin a \cos^2 a + (\cos^2 a — \sin^2 a) \sin a = \)

\( = 2 \sin a \cos^2 a + \cos^2 a \sin a — \sin^3 a = 3 \sin a \cos^2 a — \sin^3 a = \)

\( = 3 \sin a (1 — \sin^2 a) — \sin^3 a = 3 \sin a -\)

\(3 \sin^3 a — \sin^3 a = 3 \sin a — 4 \sin^3 a; \)

Тождество доказано.

б) \( \cos 3a = 4 \cos^3 a — 3 \cos a; \)

Левая часть равенства:

\( \cos 3a = \cos(2a + a) = \cos 2a \cos a — \sin 2a \sin a = \)

\( = (\cos^2 a — \sin^2 a) \cos a — 2 \sin^2 a \cos a = \)

\( = \cos^3 a — \sin^2 a \cos a — 2 \sin^2 a \cos a = \cos^3 a -\)

\(3 \sin^2 a \cos a = \cos^3 a — 3 \cos a (1 — \cos^2 a) = \)

\( = \cos^3 a — 3 \cos a + 3 \cos^3 a = 4 \cos^3 a — 3 \cos a; \)

Тождество доказано.

в) \( \tan 3a = \frac{3 \tan a — \tan^3 a}{1 — 3 \tan^2 a}; \)

Левая часть равенства:

\( \tan 3a = \tan(2a + a) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 — \tan 2a \tan a} = \)

\( = \frac{\frac{2 \tan a}{1 — \tan^2 a} + \tan a}{1 — \frac{2 \tan a}{1 — \tan^2 a} \cdot \tan a} =\)

\(\frac{2 \tan a + \tan a (1 — \tan^2 a)}{1 — \tan^2 a — 2 \tan^2 a} = \)

\( = \frac{2 \tan a + \tan a — \tan^3 a}{1 — 3 \tan^2 a} = \frac{3 \tan a — \tan^3 a}{1 — 3 \tan^2 a}; \)

Тождество доказано.

г) \( \cot 3a = \frac{\cot^3 a — 3 \cot a}{3 \cot^2 a — 1}; \)

Левая часть равенства:

\( \cot 3a = \cot(2a + a) = \frac{\cot 2a \cot a — 1}{\cot 2a + \cot a} = \)

\( = \frac{\frac{\cot^2 a — 1}{2 \cot a} \cdot \cot a — 1}{\frac{\cot^2 a — 1}{2 \cot a} + 2 \cot a} =\)

\(\frac{\cot a (\cot^2 a — 1) — 2 \cot a}{\cot^2 a — 1 + 2 \cot^2 a} = \)

\( = \frac{\cot^3 a — \cot a — 2 \cot a}{3 \cot^2 a — 1} = \frac{\cot^3 a — 3 \cot a}{3 \cot^2 a — 1}; \)

Тождество доказано.

Задача

Докажите тождество:

• а) \( \sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) — 4\sin^3(\alpha) \);
• б) \( \cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) — 3\cos(\alpha) \);
• в) \( \tan(3\alpha) = \frac{3\tan(\alpha) — \tan^3(\alpha)}{1 — 3\tan^2(\alpha)} \);
• г) \( \cot(3\alpha) = \frac{\cot^3(\alpha) — 3\cot(\alpha)}{3\cot^2(\alpha) — 1} \).

Ответы

а) \( \sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) — 4\sin^3(\alpha) \):

Для начала применим формулу для синуса суммы углов:

\[
\sin(3\alpha) = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha
\]

Теперь используем формулы для \( \sin 2\alpha \) и \( \cos 2\alpha \):

\[
\sin(3\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha) + (\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)) \sin(\alpha)
\]

После раскрытия скобок получаем:

\[
\sin(3\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) \sin(\alpha) — \sin^3(\alpha)
\]

Объединяем термины:

\[
\sin(3\alpha) = 3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha) — \sin^3(\alpha)
\]

Используем тождество \( \cos^2(\alpha) = 1 — \sin^2(\alpha) \):

\[
\sin(3\alpha) = 3 \sin(\alpha) (1 — \sin^2(\alpha)) — \sin^3(\alpha)
\]

И упрощаем:

\[
\sin(3\alpha) = 3 \sin(\alpha) — 3 \sin^3(\alpha) — \sin^3(\alpha)
\]

Итак, получаем итоговое выражение:

\[
\sin(3\alpha) = 3 \sin(\alpha) — 4 \sin^3(\alpha)
\]

Тождество доказано.

б) \( \cos(3\alpha) = 4\cos^3(\alpha) — 3\cos(\alpha) \):

Для начала применим формулу для косинуса суммы углов:

\[
\cos(3\alpha) = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha — \sin 2\alpha \sin \alpha
\]

Теперь используем формулы для \( \cos 2\alpha \) и \( \sin 2\alpha \):

\[
\cos(3\alpha) = (\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)) \cos(\alpha) — 2 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)
\]

После раскрытия скобок получаем:

\[
\cos(3\alpha) = \cos^3(\alpha) — \sin^2(\alpha) \cos(\alpha) — 2 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Объединяем термины:

\[
\cos(3\alpha) = \cos^3(\alpha) — 3 \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Используем тождество \( \sin^2(\alpha) = 1 — \cos^2(\alpha) \):

\[
\cos(3\alpha) = \cos^3(\alpha) — 3 \cos(\alpha) (1 — \cos^2(\alpha))
\]

И упрощаем:

\[
\cos(3\alpha) = \cos^3(\alpha) — 3 \cos(\alpha) + 3 \cos^3(\alpha)
\]

Итак, получаем итоговое выражение:

\[
\cos(3\alpha) = 4 \cos^3(\alpha) — 3 \cos(\alpha)
\]

Тождество доказано.

в) \( \tan(3\alpha) = \frac{3\tan(\alpha) — \tan^3(\alpha)}{1 — 3\tan^2(\alpha)} \):

Используем формулу для тангенса суммы углов:

\[
\tan(3\alpha) = \tan(2\alpha + \alpha) = \frac{\tan 2\alpha + \tan \alpha}{1 — \tan 2\alpha \tan \alpha}
\]

Теперь используем формулу для \( \tan 2\alpha \):

\[
\tan(3\alpha) = \frac{\frac{2 \tan(\alpha)}{1 — \tan^2(\alpha)} + \tan(\alpha)}{1 — \frac{2 \tan(\alpha)}{1 — \tan^2(\alpha)} \cdot \tan(\alpha)}
\]

Упрощаем числитель и знаменатель:

\[
\tan(3\alpha) = \frac{2 \tan(\alpha) + \tan(\alpha) (1 — \tan^2(\alpha))}{1 — \tan^2(\alpha) — 2 \tan^2(\alpha)}
\]

После упрощения получаем итоговое выражение:

\[
\tan(3\alpha) = \frac{3 \tan(\alpha) — \tan^3(\alpha)}{1 — 3 \tan^2(\alpha)}
\]

Тождество доказано.

г) \( \cot(3\alpha) = \frac{\cot^3(\alpha) — 3\cot(\alpha)}{3\cot^2(\alpha) — 1} \):

Используем формулу для котангенса суммы углов:

\[
\cot(3\alpha) = \cot(2\alpha + \alpha) = \frac{\cot 2\alpha \cot \alpha — 1}{\cot 2\alpha + \cot \alpha}
\]

Теперь используем формулу для \( \cot 2\alpha \):

\[
\cot(3\alpha) = \frac{\frac{\cot^2(\alpha) — 1}{2 \cot(\alpha)} \cdot \cot(\alpha) — 1}{\frac{\cot^2(\alpha) — 1}{2 \cot(\alpha)} + 2 \cot(\alpha)}
\]

После упрощения получаем:

\[
\cot(3\alpha) = \frac{\cot^3(\alpha) — 3 \cot(\alpha)}{3 \cot^2(\alpha) — 1}
\]

Тождество доказано.