ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1539 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите:

а) \( \sin(4\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \);

б) \( \cos(4\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \);

в) \( \tan(4\alpha) \) через \( \tan(\alpha) \);

г) \( \cot(4\alpha) \) через \( \cot(\alpha) \).

Выразить через одиночные углы:

а) \( \sin 4a = 2 \sin 2a \cos 2a = 4 \sin a \cos a (\cos^2 a — \sin^2 a); \)

б) \( \cos 4a = \cos^2 2a — \sin^2 2a = (\cos^2 a — \sin^2 a)^2 — 4 \sin^2 a \cos^2 a; \)

в) \( \tan 4a = \frac{2 \tan 2a}{1 — \tan^2 2a} = \frac{4 \tan a}{1 — \tan^2 a} : \left(1 — \frac{4 \tan^2 a}{(1 — \tan^2 a)^2}\right); \)

\( \tan 4a = \frac{4 \tan a (1 — \tan^2 a)}{1 — 6 \tan^2 a +\tan^4 a}; \)

г) \( \cot 4a = \frac{\cot^2 2a — 1}{2 \cot 2a} = \left(\frac{(\cot^2 a — 1)^2}{4 \cot^2 a} — 1\right) \cdot \frac{\cot a}{\cot^2 a — 1}; \)

\( \cot 4a = \frac{\cot^4 a — 6 \cot^2 a + 1}{4 \cot^2 a} \cdot \frac{\cot a}{\cot^2 a — 1} = \frac{\cot^4 a — 6 \cot^2 a + 1}{4 \cot a (\cot^2 a — 1)}. \)

Задача

Выразите:

• а) \( \sin(4\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \);
• б) \( \cos(4\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \);
• в) \( \tan(4\alpha) \) через \( \tan(\alpha) \);
• г) \( \cot(4\alpha) \) через \( \cot(\alpha) \).

Ответы

а) \( \sin(4\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

Для начала применим формулу удвоенного угла для синуса:

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Теперь выразим \( \sin(4\alpha) \) через \( \sin(2\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) \):

\[
\sin(4\alpha) = 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)
\]

Подставляем формулы для \( \sin(2\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) \):

\[
\sin(4\alpha) = 2 (2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)) (\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha))
\]

Итак, результат:

\[
\sin(4\alpha) = 4 \sin(\alpha) \cos(\alpha) (\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha))
\]

б) \( \cos(4\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

Для нахождения \( \cos(4\alpha) \) используем формулу удвоенного угла для косинуса:

\[
\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)
\]

Теперь выразим \( \cos(4\alpha) \) через \( \cos(2\alpha) \):

\[
\cos(4\alpha) = \cos^2(2\alpha) — \sin^2(2\alpha)
\]

Подставляем \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) \) и \( \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \):

\[
\cos(4\alpha) = (\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha))^2 — 4 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha)
\]

Итак, результат:

\[
\cos(4\alpha) = (\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha))^2 — 4 \sin^2(\alpha) \cos^2(\alpha)
\]

в) \( \tan(4\alpha) \) через \( \tan(\alpha) \):

Для начала используем формулу для тангенса удвоенного угла:

\[
\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1 — \tan^2(\alpha)}
\]

Теперь выразим \( \tan(4\alpha) \) через \( \tan(2\alpha) \):

\[
\tan(4\alpha) = \frac{2 \tan(2\alpha)}{1 — \tan^2(2\alpha)}
\]

Подставляем выражение для \( \tan(2\alpha) \):

\[
\tan(4\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{2 \tan(\alpha)}{1 — \tan^2(\alpha)}}{1 — \left(\frac{2 \tan(\alpha)}{1 — \tan^2(\alpha)}\right)^2}
\]

После упрощения получаем:

\[
\tan(4\alpha) = \frac{4 \tan(\alpha) (1 — \tan^2(\alpha))}{1 — 6 \tan^2(\alpha) + \tan^4(\alpha)}
\]

г) \( \cot(4\alpha) \) через \( \cot(\alpha) \):

Для начала используем формулу для котангенса удвоенного угла:

\[
\cot(2\alpha) = \frac{\cot^2(\alpha) — 1}{2 \cot(\alpha)}
\]

Теперь выразим \( \cot(4\alpha) \) через \( \cot(2\alpha) \):

\[
\cot(4\alpha) = \frac{\cot^2(2\alpha) — 1}{2 \cot(2\alpha)}
\]

Подставляем выражение для \( \cot(2\alpha) \):

\[
\cot(4\alpha) = \frac{\left(\frac{(\cot^2(\alpha) — 1)^2}{4 \cot^2(\alpha)} — 1\right)}{2 \cdot \frac{\cot(\alpha)}{2 \cot^2(\alpha) — 1}}
\]

После упрощения получаем:

\[
\cot(4\alpha) = \frac{\cot^4(\alpha) — 6 \cot^2(\alpha) + 1}{4 \cot^2(\alpha)} \cdot \frac{\cot(\alpha)}{\cot^2(\alpha) — 1}
\]