ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1538 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение \( \cos(4\alpha) \), если \( \sin(\alpha) = \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \).

Известно следующее:

\( \sin a = \frac{1 — \sqrt{2}}{2}; \)

Значение искомой функции:

\( \cos 4a = 2 \cos^2 2a — 1 = 2(1 — 2 \sin^2 a)^2 — 1 = \)

\( = 2 \left(1 — 2 \cdot \frac{1 — 2\sqrt{2} + 2}{4}\right)^2 — 1 = 2 \left(1 — \frac{3 — 2\sqrt{2}}{2}\right)^2 — 1 = \)

\( = \frac{1}{2} \cdot (2 — (3 — 2\sqrt{2}))^2 — 1 = \frac{8 — 4\sqrt{2} + 1}{2} — 1 = \frac{9 — 4\sqrt{2} — 2}{2} = \frac{7 — 4\sqrt{2}}{2}; \)

Ответ: \( \frac{7 — 4\sqrt{2}}{2}. \)

Решение:

Известно, что \( \sin(\alpha) = \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \). Нужно найти \( \cos(4\alpha) \), используя формулы для углов, представленных через синус и косинус.

Используем формулу для косинуса четверного угла:

\( \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) — 1. \)

Далее, для нахождения \( \cos(2\alpha) \) применим формулу удвоенного угла:

\( \cos(2\alpha) = 1 — 2\sin^2(\alpha). \)

Заменим \( \sin(\alpha) \) на \( \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \):

\( \cos(2\alpha) = 1 — 2 \cdot \left( \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \right)^2. \)

Теперь вычислим \( \sin^2(\alpha) \):

\( \sin^2(\alpha) = \left( \frac{1 — \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{(1 — \sqrt{2})^2}{4} = \frac{1 — 2\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{3 — 2\sqrt{2}}{4}. \)

Теперь подставим это значение в формулу для \( \cos(2\alpha) \):

\( \cos(2\alpha) = 1 — 2 \cdot \frac{3 — 2\sqrt{2}}{4} = 1 — \frac{3 — 2\sqrt{2}}{2}. \)

Преобразуем это выражение:

\( \cos(2\alpha) = \frac{2}{2} — \frac{3 — 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2 — (3 — 2\sqrt{2})}{2} = \frac{2 — 3 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2}. \)

Теперь подставим это значение в формулу для \( \cos(4\alpha) \):

\( \cos(4\alpha) = 2 \left( \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \right)^2 — 1. \)

Сначала найдем квадрат выражения:

\( \left( \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{(-1 + 2\sqrt{2})^2}{4} = \frac{1 — 4\sqrt{2} + 8}{4} = \frac{9 — 4\sqrt{2}}{4}. \)

Теперь подставим это значение в формулу для \( \cos(4\alpha) \):

\( \cos(4\alpha) = 2 \cdot \frac{9 — 4\sqrt{2}}{4} — 1 = \frac{18 — 8\sqrt{2}}{4} — 1 = \frac{18 — 8\sqrt{2} — 4}{4} = \frac{14 — 8\sqrt{2}}{4}. \)

Упростим выражение:

\( \cos(4\alpha) = \frac{7 — 4\sqrt{2}}{2}. \)

Ответ: \( \frac{7 — 4\sqrt{2}}{2} \).