ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1537 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите \( \sin(2\alpha) \), \( \cos(2\alpha) \) и \( \tan(2\alpha) \) через \( \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \):

а) \( \sin(2\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \);

б) \( \cos(2\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \);

в) \( \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 — \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \).

Выразить через половинные углы:

1) \( \sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi = 4 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos^2 \frac{\varphi}{2} — \sin^2 \frac{\varphi}{2} \right); \)

2) \( \cos 2\varphi = \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi = \left( \cos^2 \frac{\varphi}{2} — \sin^2 \frac{\varphi}{2} \right)^2 — 4 \sin^2 \frac{\varphi}{2} \cos^2 \frac{\varphi}{2}; \)

3) \( \tan 2\varphi = \frac{2 \tan \varphi}{1 — \tan^2 \varphi} = \frac{4 \tan \frac{\varphi}{2}}{1 — \tan^2 \frac{\varphi}{2}} : \left( 1 — \frac{4 \tan^2 \frac{\varphi}{2}}{\left( 1 — \tan^2 \frac{\varphi}{2} \right)^2} \right); \)

\( \tan 2\varphi = \frac{4 \tan \frac{\varphi}{2}}{1 — \tan^2 \frac{\varphi}{2}} \cdot \frac{\left( 1 — \tan^2 \frac{\varphi}{2} \right)^2}{\left( 1 — \tan^2 \frac{\varphi}{2} \right)^2 — 4 \tan^2 \frac{\varphi}{2}} = \frac{4 \tan \frac{\varphi}{2} \left( 1 — \tan^2 \frac{\varphi}{2} \right)}{1 — 6 \tan^2 \frac{\varphi}{2} + \tan^4 \frac{\varphi}{2}}; \)

Выразите \( \sin(2\alpha) \), \( \cos(2\alpha) \) и \( \tan(2\alpha) \) через \( \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \), \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \):

1) \( \sin(2\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \);

Это стандартная формула для удвоенного угла для синуса. Она уже выражена через половинные углы, так что ответ будет:

Ответ: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \).

2) \( \cos(2\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \);

Это стандартная формула для удвоенного угла для косинуса. Она также уже выражена через половинные углы, и ответ будет:

Ответ: \( \cos(2\alpha) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \).

3) \( \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 — \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \);

Это стандартная формула для тангенса удвоенного угла, выраженная через половинные углы, и ответ будет:

Ответ: \( \tan(2\alpha) = \frac{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1 — \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \).

Дополнительные выражения для более сложных случаев:

1) \( \sin(2\varphi) \):

\[
\sin(2\varphi) = 2 \sin(\varphi) \cos(\varphi) = 4 \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \left( \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right)
\]

2) \( \cos(2\varphi) \):

\[
\cos(2\varphi) = \cos^2(\varphi) — \sin^2(\varphi) = \left( \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) — \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right)^2 — 4 \sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) \cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)
\]

3) \( \tan(2\varphi) \):

\[
\tan(2\varphi) = \frac{2 \tan(\varphi)}{1 — \tan^2(\varphi)} = \frac{4 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 — \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \cdot \left( 1 — \frac{4 \tan^2 \left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\left( 1 — \tan^2 \left(\frac{\varphi}{2}\right) \right)^2} \right)
\]

\[
\tan(2\varphi) = \frac{4 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \left( 1 — \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right)}{1 — 6 \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) + \tan^4\left(\frac{\varphi}{2}\right)}
\]