ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1536 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что \( \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \sin(\alpha) \), если \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \).

Доказать неравенство:

\( \frac{1}{2} \sin 2a \leq \sin a, \quad 0 \leq a \leq \frac{\pi}{2}; \)

\( \sin a \cos a \leq \sin a, \quad \sin a \geq 0; \)

\( \frac{\sin a \cos a}{\sin a} \leq \frac{\sin a}{\sin a}; \)

\( \cos a \leq 1; \)

Неравенство доказано.

Докажите, что \( \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \sin(\alpha) \), если \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \).

Для начала, используем формулу для синуса удвоенного угла:

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Подставим это в исходное выражение:

\[
\frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Нам нужно доказать, что \( \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(\alpha) \), если \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \).

Для этого рассмотрим неравенство \( \sin(\alpha) \cos(\alpha) \leq \sin(\alpha) \), которое необходимо доказать:

Рассмотрим выражение \( \frac{\sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \). Поскольку \( \sin(\alpha) \geq 0 \) для \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \), можем разделить обе части на \( \sin(\alpha) \), получив:

\[
\cos(\alpha) \leq 1
\]

Так как для \( 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} \) значение \( \cos(\alpha) \) всегда меньше либо равно 1, то неравенство доказано.

Ответ: Тождество доказано.