ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1535 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите \( \sin(2\alpha) \), \( \cos(2\alpha) \) и \( \tan(2\alpha) \), если:

а) \( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{22}}{5} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \);

б) \( \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \);

в) \( \tan(\alpha) = 2{,}4 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \);

г) \( \cot(\alpha) = -1 \frac{1}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Найти двойные углы:

а) \( \sin a = \frac{\sqrt{22}}{5}, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)

\( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \frac{22}{25}} = \frac{\sqrt{3}}{5}; \)

\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{\sqrt{22}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} = \frac{2\sqrt{66}}{25}; \)

\( \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = \frac{3}{25} — \frac{22}{25} = -\frac{19}{25}; \)

\( \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{2\sqrt{66}}{19}; \)

б) \( \cos a = -\frac{\sqrt{3}}{4}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi; \)

\( \sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}; \)

\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} = -\frac{\sqrt{39}}{8}; \)

\( \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = \frac{3}{16} — \frac{13}{16} = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}; \)

\( \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{\sqrt{39}}{5}; \)

в) \( \tan a = 2.4, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}; \)

\( \cos a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{144}{25}}} = -\frac{5}{13}; \)

\( \sin a = \tan a \cdot \cos a = 2.4 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13}; \)

\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{120}{169}; \)

\( \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = \frac{25}{169} — \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}; \)

\( \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{120}{119}; \)

г) \( \cot a = -1\frac{1}{3}, \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi; \)

\( \sin a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{16}{9}}} = -\frac{3}{5}; \)

\( \cos a = \cot a \cdot \sin a = -\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}; \)

\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a = -2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}; \)

\( \cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}; \)

\( \tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{24}{7}; \)

Найдите \( \sin(2\alpha) \), \( \cos(2\alpha) \) и \( \tan(2\alpha) \), если:

а) \( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{22}}{5} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \);

Известно, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), и даны значения \( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{22}}{5} \).

Для нахождения \( \cos(\alpha) \) используем основное тригонометрическое тождество:

\[
\cos^2(\alpha) = 1 — \sin^2(\alpha)
\]

Подставляем значение \( \sin(\alpha) \):

\[
\cos^2(\alpha) = 1 — \left(\frac{\sqrt{22}}{5}\right)^2 = 1 — \frac{22}{25} = \frac{3}{25}
\]

Следовательно, \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{5} \), так как угол \( \alpha \) острый (положительное значение косинуса).

Теперь, используя формулы для двойных углов, вычислим \( \sin(2\alpha) \), \( \cos(2\alpha) \) и \( \tan(2\alpha) \):

1. Вычислим \( \sin(2\alpha) \):

Используем формулу для синуса удвоенного угла:

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{22}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} = \frac{2\sqrt{66}}{25}
\]

2. Вычислим \( \cos(2\alpha) \):

Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

\[
\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

\[
\cos(2\alpha) = \frac{3}{25} — \frac{22}{25} = -\frac{19}{25}
\]

3. Вычислим \( \tan(2\alpha) \):

Используем формулу для тангенса удвоенного угла:

\[
\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}
\]

Подставляем значения для \( \sin(2\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) \):

\[
\tan(2\alpha) = \frac{\frac{2\sqrt{66}}{25}}{-\frac{19}{25}} = -\frac{2\sqrt{66}}{19}
\]

Ответ:

\[
\sin(2\alpha) = \frac{2\sqrt{66}}{25}, \quad \cos(2\alpha) = -\frac{19}{25}, \quad \tan(2\alpha) = -\frac{2\sqrt{66}}{19}
\]

б) \( \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \);

Известно, что \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), и \( \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \).

Для нахождения \( \sin(\alpha) \) используем основное тригонометрическое тождество:

\[
\sin^2(\alpha) = 1 — \cos^2(\alpha)
\]

Подставляем значение для \( \cos(\alpha) \):

\[
\sin^2(\alpha) = 1 — \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 — \frac{3}{16} = \frac{13}{16}
\]

Таким образом, \( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{13}}{4} \), так как угол \( \alpha \) находится в пределах второго квадранта (положительное значение синуса).

1. Вычислим \( \sin(2\alpha) \):

Используем формулу для синуса удвоенного угла:

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) = -\frac{\sqrt{39}}{8}
\]

2. Вычислим \( \cos(2\alpha) \):

Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

\[
\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

\[
\cos(2\alpha) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 — \left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2 = \frac{3}{16} — \frac{13}{16} = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}
\]

3. Вычислим \( \tan(2\alpha) \):

Используем формулу для тангенса удвоенного угла:

\[
\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}
\]

Подставляем значения для \( \sin(2\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) \):

\[
\tan(2\alpha) = \frac{-\frac{\sqrt{39}}{8}}{-\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{39}}{5}
\]

Ответ:

\[
\sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{39}}{8}, \quad \cos(2\alpha) = -\frac{5}{8}, \quad \tan(2\alpha) = \frac{\sqrt{39}}{5}
\]

в) \( \tan(\alpha) = 2.4 \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \);

Известно, что \( \tan(\alpha) = 2.4 \), и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \).

Для начала вычислим \( \cos(\alpha) \) и \( \sin(\alpha) \):

Для нахождения \( \cos(\alpha) \) используем основное тригонометрическое тождество:

\[
\cos^2(\alpha) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha)}
\]

Подставляем \( \tan(\alpha) = 2.4 \):

\[
\cos^2(\alpha) = \frac{1}{1 + (2.4)^2} = \frac{1}{1 + 5.76} = \frac{1}{6.76} = \frac{25}{169}
\]

Таким образом, \( \cos(\alpha) = -\frac{5}{13} \), так как угол \( \alpha \) находится в третьем квадранте (отрицательное значение косинуса).

Теперь вычислим \( \sin(\alpha) \):

\[
\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 2.4 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13}
\]

1. Вычислим \( \sin(2\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

\[
\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{120}{169}
\]

2. Вычислим \( \cos(2\alpha) \):

\[
\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \):

\[
\cos(2\alpha) = \frac{25}{169} — \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}
\]

3. Вычислим \( \tan(2\alpha) \):

\[
\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}
\]

Подставляем значения для \( \sin(2\alpha) \) и \( \cos(2\alpha) \):

\[
\tan(2\alpha) = \frac{\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119}
\]

Ответ:

\[
\sin(2\alpha) = \frac{120}{169}, \quad \cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}, \quad \tan(2\alpha) = -\frac{120}{119}
\]

г) \( \cot(\alpha) = -1 \frac{1}{3} \), и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \);

Известно, что \( \cot(\alpha) = -1 \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \), и угол \( \alpha \) находится в четвертом квадранте, так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Для нахождения \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \) используем следующее:

Зная, что \( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \), можем выразить \( \cos(\alpha) \) через \( \sin(\alpha) \) и использовать основное тригонометрическое тождество:

\[
\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}, \quad \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
\]

Подставим значение для \( \cot(\alpha) = -\frac{4}{3} \):

\[
\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\frac{4}{3} ⟹ \cos(\alpha) = -\frac{4}{3} \cdot \sin(\alpha)
\]

Теперь подставим это в основное тождество:

\[
\sin^2(\alpha) + \left(-\frac{4}{3} \sin(\alpha)\right)^2 = 1
\]

\[
\sin^2(\alpha) + \frac{16}{9} \sin^2(\alpha) = 1
\]

Вынесем \( \sin^2(\alpha) \) за скобки:

\[
\left(1 + \frac{16}{9}\right) \sin^2(\alpha) = 1
\]

\[
\frac{25}{9} \sin^2(\alpha) = 1
\]

Теперь решим относительно \( \sin(\alpha) \):

\[
\sin^2(\alpha) = \frac{9}{25} ⟹\sin(\alpha) = -\frac{3}{5}
\]

Так как угол \( \alpha \) находится в четвертом квадранте, \( \sin(\alpha) \) отрицательно.

Теперь найдём \( \cos(\alpha) \) с использованием \( \cos(\alpha) = -\frac{4}{3} \sin(\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) = -\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}
\]

Теперь можем вычислить \( \sin(2\alpha) \), \( \cos(2\alpha) \) и \( \tan(2\alpha) \) с использованием стандартных формул для удвоенного угла:

1. Вычислим \( \sin(2\alpha) \):

Используем формулу для синуса удвоенного угла:

\[
\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) = -\frac{3}{5} \) и \( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \):

\[
\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}
\]

2. Вычислим \( \cos(2\alpha) \):

Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

\[
\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)
\]

Подставляем значения для \( \sin(\alpha) = -\frac{3}{5} \) и \( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \):

\[
\cos(2\alpha) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}
\]

3. Вычислим \( \tan(2\alpha) \):

Используем формулу для тангенса удвоенного угла:

\[
\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}
\]

Подставляем значения для \( \sin(2\alpha) = -\frac{24}{25} \) и \( \cos(2\alpha) = \frac{7}{25} \):

\[
\tan(2\alpha) = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}
\]

Ответ:

\[
\sin(2\alpha) = -\frac{24}{25}, \quad \cos(2\alpha) = \frac{7}{25}, \quad \tan(2\alpha) = -\frac{24}{7}
\]