ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1534 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что \( \alpha — \beta = \frac{\pi}{4} \), если \( \alpha \) и \( \beta \) — острые углы и \( \tan(\alpha) = 2 \frac{1}{3} \), \( \tan(\beta) = \frac{2}{5} \).

Известно следующее:

\( 0 < a < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2}; \)

\( \tan a = 2\frac{1}{3}, \quad \tan \beta = \frac{2}{5}; \)

Тангенс разности этих углов:

\( \tan(a — \beta) = \frac{\tan a — \tan \beta}{1 + \tan a \tan \beta} = \frac{\frac{7}{3} — \frac{2}{5}}{1 + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5}}; \)

\( \tan(a — \beta) = \frac{35 — 6}{15 + 14} = 1, \quad a — \beta = \frac{\pi}{4}; \)

Что и требовалось доказать.

Докажите, что \( \alpha — \beta = \frac{\pi}{4} \), если \( \alpha \) и \( \beta \) — острые углы и \( \tan(\alpha) = 2 \frac{1}{3} \), \( \tan(\beta) = \frac{2}{5} \).

Известно, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \).

Также даны значения тангенсов:

\[
\tan(\alpha) = 2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad \tan(\beta) = \frac{2}{5}
\]

Для того чтобы доказать, что \( \alpha — \beta = \frac{\pi}{4} \), воспользуемся формулой для тангенса разности углов:

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Подставляем известные значения для \( \tan(\alpha) = \frac{7}{3} \) и \( \tan(\beta) = \frac{2}{5} \) в формулу для \( \tan(\alpha — \beta) \):

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\frac{7}{3} — \frac{2}{5}}{1 + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5}}
\]

Теперь нужно упростить числитель и знаменатель.

Числитель: \( \frac{7}{3} — \frac{2}{5} \). Для вычитания дробей с разными знаменателями найдем общий знаменатель:

\[
\frac{7}{3} — \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} — \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{35}{15} — \frac{6}{15} = \frac{29}{15}
\]

Знаменатель: \( 1 + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} \). Выполним умножение и сложение:

\[
1 + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = 1 + \frac{14}{15} = \frac{15}{15} + \frac{14}{15} = \frac{29}{15}
\]

Теперь, подставив значения числителя и знаменателя, получаем:

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\frac{29}{15}}{\frac{29}{15}} = 1
\]

Так как \( \tan(\alpha — \beta) = 1 \), это означает, что угол \( \alpha — \beta \) имеет тангенс, равный 1, а это соответствует углу \( \frac{\pi}{4} \), так как:

\[
\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
\]

Следовательно, \( \alpha — \beta = \frac{\pi}{4} \).

Что и требовалось доказать.