ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1532 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите:

а) \( \cot(\alpha + \beta) \) и \( \cot(\alpha — \beta) \) через \( \cot(\alpha) \) и \( \cot(\beta) \);

б) \( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)} \) через \( \sin(\alpha + \beta) \) и \( \sin(\alpha — \beta) \);

в) \( \frac{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}{\cot(\alpha) — \cot(\beta)} \) через \( \cos(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha — \beta) \);

г) \( \tan(\alpha + \beta + \gamma) \) через \( \tan(\alpha) \), \( \tan(\beta) \) и \( \tan(\gamma) \).

Выразить значение:

а) Через \( \cot a \) и \( \cot \beta \):

\( \cot(a + \beta) = \frac{1 — \tan a \tan \beta}{\tan a + \tan \beta} = \frac{\cot a \cot \beta — 1}{\cot \beta + \cot a}; \)

\( \cot(a — \beta) = \frac{1 + \tan a \tan \beta}{\tan a — \tan \beta} = \frac{\cot a \cot \beta + 1}{\cot \beta — \cot a}; \)

б) Через \( \sin(a + \beta) \) и \( \sin(a — \beta) \):

\( \tan a + \tan \beta = \frac{\sin a \cos \beta + \sin \beta \cos a}{\sin a \cos \beta — \sin \beta \cos a} = \frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)}; \)

в) Через \( \sin(a + \beta) \) и \( \sin(a — \beta) \):

\( \cot a + \cot \beta = \frac{\sin \beta \cos a + \sin a \cos \beta}{\sin \beta \cos a — \sin a \cos \beta} = -\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)}; \)

г) Через \( \tan a \), \( \tan \beta \) и \( \tan \gamma \):

\( \tan(a + b + \gamma) = \frac{\tan(a + \beta) + \tan \gamma}{1 — \tan(a + \beta) \tan \gamma} = \frac{\frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \tan \beta} + \tan \gamma}{1 — \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \tan \beta} \tan \gamma}; \)

\( \tan(a + b + \gamma) = \frac{\tan a + \tan \beta + \tan \gamma — \tan a \tan \beta \tan \gamma}{1 — \tan a \tan \beta — \tan a \tan \gamma — \tan \beta \tan \gamma}; \)

Выразите:

а) \( \cot(\alpha + \beta) \) и \( \cot(\alpha — \beta) \) через \( \cot(\alpha) \) и \( \cot(\beta) \);

Для начала используем формулы для \( \cot(\alpha + \beta) \) и \( \cot(\alpha — \beta) \) через тангенсы:

\[
\cot(\alpha + \beta) = \frac{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}
\]

\[
\cot(\alpha — \beta) = \frac{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}
\]

Так как \( \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} \), то подставим это в выражения для \( \cot(\alpha + \beta) \) и \( \cot(\alpha — \beta) \):

\[
\cot(\alpha + \beta) = \frac{1 — \frac{1}{\cot(\alpha)} \cdot \frac{1}{\cot(\beta)}}{\frac{1}{\cot(\alpha)} + \frac{1}{\cot(\beta)}}
\]

Умножим числитель и знаменатель на \( \cot(\alpha) \cot(\beta) \) для удобства:

\[
= \frac{\cot(\alpha) \cot(\beta) — 1}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}
\]

Аналогично для \( \cot(\alpha — \beta) \), подставляем значения для тангенсов:

\[
\cot(\alpha — \beta) = \frac{1 + \frac{1}{\cot(\alpha)} \cdot \frac{1}{\cot(\beta)}}{\frac{1}{\cot(\alpha)} — \frac{1}{\cot(\beta)}}
\]

Умножаем числитель и знаменатель на \( \cot(\alpha) \cot(\beta) \):

\[
= \frac{\cot(\alpha) \cot(\beta) + 1}{\cot(\beta) — \cot(\alpha)}
\]

Ответ:

\[
\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot(\alpha) \cot(\beta) — 1}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}
\]

\[
\cot(\alpha — \beta) = \frac{\cot(\alpha) \cot(\beta) + 1}{\cot(\beta) — \cot(\alpha)}
\]

б) \( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)} \) через \( \sin(\alpha + \beta) \) и \( \sin(\alpha — \beta) \);

Для этого используем формулы для тангенса суммы и разности:

\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Теперь, мы можем выразить \( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)} \) как:

\[
\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)}
\]

Так как из формул для тангенса суммы и разности мы видим, что числители и знаменатели связаны с синусами:

\[
\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)}
\]

Ответ: \( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha) — \tan(\beta)} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)} \)

в) \( \frac{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}{\cot(\alpha) — \cot(\beta)} \) через \( \cos(\alpha + \beta) \) и \( \cos(\alpha — \beta) \);

Для этого используем формулы для котангенса суммы и разности:

\[
\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}
\]

\[
\cot(\alpha — \beta) = \frac{\cos(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha — \beta)}
\]

Подставляем в исходное выражение:

\[
\frac{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}{\cot(\alpha) — \cot(\beta)} = — \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)}
\]

Теперь подставляем значения для синусов и косинусов:

\[
\frac{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}{\cot(\alpha) — \cot(\beta)} = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha — \beta)}
\]

Ответ: \( \frac{\cot(\alpha) + \cot(\beta)}{\cot(\alpha) — \cot(\beta)} = — \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha — \beta)} \)

г) \( \tan(\alpha + \beta + \gamma) \) через \( \tan(\alpha) \), \( \tan(\beta) \) и \( \tan(\gamma) \);

Используем формулу для тангенса суммы трех углов:

\[
\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan(\gamma)}{1 — \tan(\alpha + \beta) \tan(\gamma)}
\]

Теперь, используя формулу для \( \tan(\alpha + \beta) \):

\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Подставляем это в выражение для \( \tan(\alpha + \beta + \gamma) \):

\[
\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)} + \tan(\gamma)}{1 — \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)} \tan(\gamma)}
\]

Упрощаем числитель и знаменатель:

\[
= \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta) + \tan(\gamma) — \tan(\alpha) \tan(\beta) \tan(\gamma)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta) — \tan(\alpha) \tan(\gamma) — \tan(\beta) \tan(\gamma)}
\]

Ответ: \( \tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta) + \tan(\gamma) — \tan(\alpha) \tan(\beta) \tan(\gamma)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta) — \tan(\alpha) \tan(\gamma) — \tan(\beta) \tan(\gamma)} \)