ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1531 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \frac{\tan(\alpha + \beta) — \tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\tan(\alpha) \tan(\alpha + \beta)} = \tan(\alpha) \);

б) \( \frac{\tan^2(\alpha) — \tan^2(\beta)}{1 — \tan^2(\alpha) \tan^2(\beta)} = \tan(\alpha + \beta) \cdot \tan(\alpha — \beta) \);

в) \( \tan(\alpha — \beta) — \tan(\alpha) + \tan(\beta) = \tan(\alpha — \beta) \cdot \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) \);

г) \( \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\tan(\alpha — \beta)} = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha + \beta)} = 2 \).

Доказать тождество:

а) \( \frac{\tan(a + \beta) — \tan a — \tan \beta}{\tan a \tan(a + \beta)} = \tan \beta; \)

\( \frac{\tan(a + \beta) — \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \tan \beta} \cdot (1 — \tan a \tan \beta)}{\tan a \tan(a + \beta)} = \tan \beta; \)

\( \frac{\tan(a + \beta) — \tan(a + \beta) \cdot (1 — \tan a \tan \beta)}{\tan a \tan(a + \beta)} = \tan \beta; \)

\( \frac{1 — 1 + \tan a \tan \beta}{\tan a}, \quad \frac{\tan a \tan \beta}{\tan a} = \tan \beta; \)

Тождество доказано.

б) \( \frac{\tan^2 a — \tan^2 \beta}{1 — \tan^2 a \tan^2 \beta} = \tan(a + \beta) \tan(a — \beta); \)

\( \frac{\tan a — \tan \beta}{1 + \tan a \tan \beta} \cdot \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \tan \beta} = \tan(a + b) \tan(a — \beta); \)

\( \tan(a — \beta) \tan(a + \beta) = \tan(a + \beta) \tan(a — \beta); \)

Тождество доказано.

в) \( \tan(a — \beta) — \tan a + \tan \beta = \tan(\beta — a) \tan a \tan \beta; \)

\( \tan(a — \beta) — \frac{\tan a — \tan \beta}{1 + \tan a \tan \beta} (1 + \tan a \tan \beta) = \tan(\beta — a) \tan a \tan \beta; \)

\( \tan(a — \beta) — \tan(a — \beta)(1 + \tan a \tan \beta) = -\tan(a — \beta) \tan a \tan \beta; \)

\( 1 — 1 — \tan a \tan \beta = -\tan a \tan \beta, \quad -\tan a \tan \beta = -\tan a \tan \beta; \)

Тождество доказано.

г) \( \frac{\tan a — \tan \beta}{\tan(a — \beta)} + \frac{\tan a + \tan \beta}{\tan(a + \beta)} = 2; \)

\( \frac{(\tan a — \tan \beta)(1 + \tan a \tan \beta)}{\tan a \tan \beta} + \frac{(\tan a + \tan \beta)(1 — \tan a \tan \beta)}{\tan a + \tan \beta} = 2; \)

\( (1 + \tan a \tan \beta) + (1 — \tan a \tan \beta) = 2, \quad 1 + 1 = 2, \quad 2 = 2; \)

Тождество доказано.

Докажите тождество:

а) \( \frac{\tan(\alpha + \beta) — \tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\tan(\alpha) \tan(\alpha + \beta)} = \tan(\alpha) \);

Для начала используем формулу для \( \tan(\alpha + \beta) \):

\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Подставим это в исходное выражение:

\[
\frac{\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)} — \tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\tan(\alpha) \cdot \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}}
\]

Приводим к общему знаменателю в числителе:

\[
= \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta) — (\tan(\alpha) + \tan(\beta))(1 — \tan(\alpha) \tan(\beta))}{\tan(\alpha) \cdot \left( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)} \right)}
\]

Упрощаем выражение:

\[
= \frac{1 — 1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}{\tan(\alpha)}
\]

Таким образом, получаем:

\[
\frac{\tan(\alpha) \tan(\beta)}{\tan(\alpha)} = \tan(\beta)
\]

Тождество доказано.

б) \( \frac{\tan^2(\alpha) — \tan^2(\beta)}{1 — \tan^2(\alpha) \tan^2(\beta)} = \tan(\alpha + \beta) \cdot \tan(\alpha — \beta) \);

Используем формулы для \( \tan(\alpha + \beta) \) и \( \tan(\alpha — \beta) \):

\[
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Подставим в исходное выражение:

\[
\frac{\tan^2(\alpha) — \tan^2(\beta)}{1 — \tan^2(\alpha) \tan^2(\beta)} = \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)} \cdot \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Распишем и упростим числитель и знаменатель:

\[
= \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)} \cdot \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Получаем:

\[
\tan(\alpha + \beta) \cdot \tan(\alpha — \beta)
\]

Тождество доказано.

в) \( \tan(\alpha — \beta) — \tan(\alpha) + \tan(\beta) = \tan(\alpha — \beta) \cdot \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) \);

Используем формулу для \( \tan(\alpha — \beta) \):

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Подставим это в исходное выражение:

\[
\frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)} — \tan(\alpha) + \tan(\beta)
\]

Упрощаем числитель:

\[
= \frac{-\tan(\alpha) \tan(\beta) + \tan(\alpha) \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}
\]

Получаем:

\[
= \tan(\alpha — \beta) \cdot \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta)
\]

Тождество доказано.

г) \( \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\tan(\alpha — \beta)} + \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha + \beta)} = 2 \);

Используем формулы для \( \tan(\alpha — \beta) \) и \( \tan(\alpha + \beta) \):

\[
\frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\tan(\alpha — \beta)} + \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha + \beta)}
\]

Подставим формулы для \( \tan(\alpha — \beta) \) и \( \tan(\alpha + \beta) \):

\[
= \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{\frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}} + \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 — \tan(\alpha) \tan(\beta)}}
\]

Умножаем числители и знаменатели:

\[
= (1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)) + (1 — \tan(\alpha) \tan(\beta))
\]

Получаем:

\[
= 2
\]

Тождество доказано.