ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1530 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите:

а) \( \cos(\alpha) \sin(30^\circ + \alpha) — \sin(\alpha) \cos(30^\circ + \alpha) \);

б) \( \cos(45^\circ — \alpha) \sin(\alpha) + \sin(45^\circ — \alpha) \);

в) \( \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha) — \cos(\alpha + \beta) \sin(\alpha) \);

г) \( \cos(\alpha — \beta) \sin(\alpha) + \sin(\alpha — \beta) \cos(\alpha) \).

Упростить выражение:

а) \( \cos a \sin(30^\circ + a) — \sin a \cos(30^\circ + a) = \)

\( = \cos a \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \sin a\right) — \sin a \left(\cos \frac{\pi}{6} \cos a — \sin \frac{\pi}{6} \sin a\right) = \)

\( = \cos a \cdot \left(\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right) — \sin a \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a — \frac{1}{2} \sin a\right) = \)

\( = \frac{1}{2} \cos^2 a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \cos a + \frac{1}{2} \sin^2 a = \frac{1}{2}; \)

б) \( \cos(45^\circ — a) \sin a + \sin(45^\circ — a) \cos a = \)

\( = \left(\cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a\right) \sin a + \left(\sin \frac{\pi}{4} \cos a — \sin a \cos \frac{\pi}{4}\right) \cos a = \)

\( = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) \cdot \sin a + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) \cdot \cos a = \)

\( = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin^2 a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos^2 a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}; \)

в) \( \sin(a + \beta) \cos a — \cos(a + \beta) \sin a = \)

\( = (\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta) \cos a — (\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta) \sin a = \)

\( = \sin a \cos a \cos \beta + \cos^2 a \sin \beta — \sin a \cos a \cos \beta + \sin^2 a \sin \beta = \)

\( = \sin \beta (\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin \beta; \)

г) \( \cos(a — \beta) \sin \beta + \sin(a — \beta) \cos \beta = \)

\( = (\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) \sin \beta + (\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta) \cos \beta = \)

\( = \sin \beta \cos a \cos \beta + \sin a \sin^2 \beta + \sin a \cos^2 \beta — \sin \beta \cos a \cos \beta = \)

\( = \sin a (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = \sin a; \)

Упростите:

а) \( \cos(\alpha) \sin(30^\circ + \alpha) — \sin(\alpha) \cos(30^\circ + \alpha) \);

Используем формулы сложения для синуса и косинуса:

\[
\cos(\alpha) \sin(30^\circ + \alpha) — \sin(\alpha) \cos(30^\circ + \alpha)
\]

Распишем синус и косинус угла \( 30^\circ + \alpha \) с использованием формул:

\[
\sin(30^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha
\]

\[
\cos(30^\circ + \alpha) = \cos 30^\circ \cos \alpha — \sin 30^\circ \sin \alpha
\]

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[
\cos(\alpha) \left(\sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha\right) -\]

\[\sin(\alpha) \left(\cos 30^\circ \cos \alpha — \sin 30^\circ \sin \alpha\right)
\]

Используем значения \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:

\[
= \cos(\alpha) \left(\frac{1}{2} \cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)\right) — \sin(\alpha) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) — \frac{1}{2} \sin(\alpha)\right)
\]

Теперь умножим и упростим:

\[
= \frac{1}{2} \cos^2(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) \cos(\alpha) — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) \cos(\alpha) + \frac{1}{2} \sin^2(\alpha)
\]

Сокращаем и упрощаем:

\[
= \frac{1}{2} \left( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) \right) = \frac{1}{2}
\]

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

б) \( \cos(45^\circ — \alpha) \sin(\alpha) + \sin(45^\circ — \alpha) \cos(\alpha) \);

Используем формулы для косинуса и синуса разности:

\[
\cos(45^\circ — \alpha) = \cos 45^\circ \cos \alpha + \sin 45^\circ \sin \alpha
\]

\[
\sin(45^\circ — \alpha) = \sin 45^\circ \cos \alpha — \cos 45^\circ \sin \alpha
\]

Подставляем в выражение:

\[
\cos 45^\circ \cos \alpha + \sin 45^\circ \sin \alpha) \sin \alpha + (\sin 45^\circ \cos \alpha — \cos 45^\circ \sin \alpha) \cos \alpha
\]

Заменяем значения \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[
= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right) \sin \alpha + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right) \cos \alpha
\]

Умножаем и упрощаем:

\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin^2 \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos^2 \alpha — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \cos \alpha
\]

Сокращаем:

\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

в) \( \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha) — \cos(\alpha + \beta) \sin(\alpha) \);

Используем формулу для синуса разности:

\[
\sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha) — \cos(\alpha + \beta) \sin(\alpha)
\]

Раскрываем через формулы для синуса и косинуса:

\[
= (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \cos \alpha — (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta) \sin \alpha
\]

Умножаем и упрощаем:

\[
= \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \alpha \sin \beta — \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \sin^2 \alpha \sin \beta
\]

Сокращаем:

\[
= \sin \beta (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin \beta
\]

Ответ: \( \sin(\beta) \)

г) \( \cos(\alpha — \beta) \sin(\beta) + \sin(\alpha — \beta) \cos(\beta) \);

Используем формулы для косинуса и синуса разности:

\[
\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]

\[
\sin(\alpha — \beta) = \sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta
\]

Подставляем в выражение:

\[
(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \sin \beta + (\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta) \cos \beta
\]

Умножаем и упрощаем:

\[
= \sin \beta \cos \alpha \cos \beta + \sin^2 \beta \sin \alpha + \sin \alpha \cos^2 \beta — \cos \alpha \sin \beta \cos \beta
\]

Сокращаем:

\[
= \sin \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = \sin \alpha
\]

Ответ: \( \sin(\alpha) \)