ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1529 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вычислите:

а) \( \tan\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) \), если \( \sin(\alpha) = -\frac{12}{13} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \);

б) \( \cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \), если \( \sin(\alpha) = -0{,}5 \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Вычислить значение:

а) \( \sin a = -\frac{12}{13}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}; \)

\( \cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \frac{144}{169}} = -\frac{5}{13}; \)

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = -\frac{12}{13} : \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{12}{5}; \)

\( \tan\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan a — \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan a \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{12}{5} — 1}{1 + \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{7}{17}; \)

Ответ: \( \frac{7}{17}. \)

б) \( \sin a = -0.5, \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi; \)

\( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = -\frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}; \)

\( \cot\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 — \tan a \tan \frac{\pi}{4}}{\tan a + \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} = 2 + \sqrt{3}; \)

Ответ: \( 2 + \sqrt{3}. \)

Вычислите:

а) \( \tan\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) \), если \( \sin(\alpha) = -\frac{12}{13} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \);

Для вычисления \( \tan\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) \) воспользуемся формулой для тангенса разности:

\[
\tan\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(\alpha) — \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 + \tan(\alpha)\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}
\]

Известно, что \( \sin(\alpha) = -\frac{12}{13} \). Используем это для нахождения \( \cos(\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) = -\sqrt{1 — \sin^2(\alpha)} = -\sqrt{1 — \frac{144}{169}} = -\frac{5}{13}
\]

Теперь вычислим \( \tan(\alpha) \):

\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}
\]

Подставим в формулу для \( \tan\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) \):

\[
\tan\left(\alpha — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} — 1}{1 + \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} — \frac{5}{5}}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{17}
\]

Ответ: \( \frac{7}{17} \)

б) \( \cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \), если \( \sin(\alpha) = -0{,}5 \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \);

Для вычисления \( \cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \) воспользуемся формулой для котангенса суммы:

\[
\cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 — \tan(\alpha)\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\tan(\alpha) + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}
\]

Известно, что \( \sin(\alpha) = -0.5 \), и нужно вычислить \( \cos(\alpha) \):

\[
\cos(\alpha) = \sqrt{1 — \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 — \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь вычислим \( \tan(\alpha) \):

\[
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Подставим в формулу для \( \cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \):

\[
\cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + 1} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}}
\]

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[
\cot\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}
\]

Теперь, используя формулу для разности квадратов, получаем:

\[
\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} = 2 + \sqrt{3}
\]

Ответ: \( 2 + \sqrt{3} \)