ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1528 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите:

а) \( \tan(\alpha) \), если \( \tan\left(\frac{\alpha}{3} — \alpha\right) = m \);

б) \( \cot(\alpha) \), если \( \cot\left(\frac{\alpha}{3} + \alpha\right) = n \).

Вычислить значение:

а) \( \tan\left(\frac{\pi}{3} — a\right) = m; \)

\( \frac{\tan \frac{\pi}{3} — \tan a}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \tan a} = m; \)

\( \frac{\sqrt{3} — \tan a}{1 + \sqrt{3} \tan a} = m; \)

\( \sqrt{3} — \tan a = m + m\sqrt{3} \tan a; \)

\( m\sqrt{3} \tan a + \tan a = \sqrt{3} — m; \)

\( \tan a (m\sqrt{3} + 1) = \sqrt{3} — m; \)

\( \tan a = \frac{\sqrt{3} — m}{m\sqrt{3} + 1}; \)

б) \( \cot\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = n; \)

\( \frac{1 — \tan \frac{\pi}{3} \tan a}{\tan \frac{\pi}{3} + \tan a} = n; \)

\( \frac{1 — \sqrt{3} \tan a}{\sqrt{3} + \tan a} = n; \)

\( 1 — \sqrt{3} \tan a = n\sqrt{3} + n \tan a; \)

\( n \tan a + \sqrt{3} \tan a = 1 — n\sqrt{3}; \)

\( \tan a (n + \sqrt{3}) = 1 — n\sqrt{3}; \)

\( \tan a = \frac{1 — n\sqrt{3}}{n + \sqrt{3}}; \)

\( \cot a = \frac{n + \sqrt{3}}{1 — n\sqrt{3}}; \)

Найдите:

а) \( \tan(\alpha) \), если \( \tan\left(\frac{\alpha}{3} — \alpha\right) = m \);

Для вычисления значения \( \tan(\alpha) \), воспользуемся формулой для тангенса разности:

\[
\tan\left(\frac{\alpha}{3} — \alpha\right) = \frac{\tan\left(\frac{\alpha}{3}\right) — \tan(\alpha)}{1 + \tan\left(\frac{\alpha}{3}\right) \tan(\alpha)}
\]

Подставляем значение \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \):

\[
\frac{\sqrt{3} — \tan(\alpha)}{1 + \sqrt{3} \tan(\alpha)} = m
\]

Теперь умножаем обе части на \( 1 + \sqrt{3} \tan(\alpha) \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
\sqrt{3} — \tan(\alpha) = m + m\sqrt{3} \tan(\alpha)
\]

Преобразуем уравнение:

\[
\sqrt{3} — \tan(\alpha) = m\sqrt{3} \tan(\alpha) + \tan(\alpha)
\]

Переносим все слагаемые с \( \tan(\alpha) \) в одну сторону:

\[
m\sqrt{3} \tan(\alpha) + \tan(\alpha) = \sqrt{3} — m
\]

Факторизуем \( \tan(\alpha) \) с левой стороны:

\[
\tan(\alpha) (m\sqrt{3} + 1) = \sqrt{3} — m
\]

Разделим обе стороны на \( m\sqrt{3} + 1 \), чтобы выразить \( \tan(\alpha) \):

\[
\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3} — m}{m\sqrt{3} + 1}
\]

б) \( \cot(\alpha) \), если \( \cot\left(\frac{\alpha}{3} + \alpha\right) = n \);

Для вычисления значения \( \cot(\alpha) \), воспользуемся формулой для котангенса суммы:

\[
\cot\left(\frac{\alpha}{3} + \alpha\right) = \frac{1 — \tan\left(\frac{\alpha}{3}\right) \tan(\alpha)}{\tan\left(\frac{\alpha}{3}\right) + \tan(\alpha)}
\]

Подставляем значение \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \):

\[
\frac{1 — \sqrt{3} \tan(\alpha)}{\sqrt{3} + \tan(\alpha)} = n
\]

Теперь умножаем обе части на \( \sqrt{3} + \tan(\alpha) \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
1 — \sqrt{3} \tan(\alpha) = n\sqrt{3} + n \tan(\alpha)
\]

Преобразуем уравнение:

\[
1 — \sqrt{3} \tan(\alpha) = n \tan(\alpha) + n \sqrt{3}
\]

Переносим все слагаемые с \( \tan(\alpha) \) в одну сторону:

\[
n \tan(\alpha) + \sqrt{3} \tan(\alpha) = 1 — n \sqrt{3}
\]

Факторизуем \( \tan(\alpha) \) с левой стороны:

\[
\tan(\alpha) (n + \sqrt{3}) = 1 — n \sqrt{3}
\]

Разделим обе стороны на \( n + \sqrt{3} \), чтобы выразить \( \tan(\alpha) \):

\[
\tan(\alpha) = \frac{1 — n \sqrt{3}}{n + \sqrt{3}}
\]

Теперь найдём \( \cot(\alpha) \), так как \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \):

\[
\cot(\alpha) = \frac{n + \sqrt{3}}{1 — n \sqrt{3}}
\]

Ответы:

• а) \( \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3} — m}{m\sqrt{3} + 1} \)
• б) \( \cot(\alpha) = \frac{n + \sqrt{3}}{1 — n \sqrt{3}} \)