ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1527 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что \( \sin(\alpha) = \frac{7}{25} \), \( \cos(\alpha) = -\frac{3}{5} \), \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Найдите:

а) \( \sin(\alpha + \beta) \);

б) \( \cos(\alpha + \beta) \);

в) \( \cos(\alpha — \beta) \);

г) \( \tan(\alpha — \beta) \).

Известно следующее:

\( 0^\circ < a < 90^\circ, \quad \sin a = \frac{7}{25}; \)

\( 90^\circ < \beta < 180^\circ, \quad \cos \beta = -\frac{3}{5}; \)

Значения функций:

\( \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \frac{49}{625}} = \frac{24}{25}; \)

\( \sin \beta = \sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}; \)

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{7}{24}, \quad \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = -\frac{4}{3}; \)

а) \( \sin(a + \beta) = \sin a \cos \beta + \sin \beta \cos a; \)

\( \sin(a + \beta) = -\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{25} + \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} = \frac{75}{5 \cdot 25} = \frac{3}{5}; \)

б) \( \cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta; \)

\( \cos(a + \beta) = -\frac{3}{5} \cdot \frac{24}{25} — \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{100}{125} = -\frac{4}{5}; \)

в) \( \cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta; \)

\( \cos(a — \beta) = -\frac{3}{5} \cdot \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{44}{125}; \)

г) \( \tan(a — \beta) = \frac{\tan a — \tan \beta}{1 + \tan a \tan \beta} = \frac{\frac{7}{24} + \frac{4}{3}}{1 — \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{24}}; \)

\( \tan(a — \beta) = \frac{21 + 96}{72 — 28} = \frac{117}{44} = 2 \frac{29}{44}; \)

Известно, что \( \sin(\alpha) = \frac{7}{25} \), \( \cos(\alpha) = -\frac{3}{5} \), где \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), а также \( 90^\circ < \beta < 180^\circ \).

1. Рассчитаем значения для тригонометрических функций:

а) \( \sin(\alpha + \beta) \):

Для вычисления значения \( \sin(\alpha + \beta) \) используем формулу суммы углов:

\[
\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)
\]

Подставим известные значения:

\[
\sin(\alpha + \beta) = \left( \frac{7}{25} \right) \left( -\frac{3}{5} \right) + \left( \frac{4}{5} \right) \left( \frac{24}{25} \right)
\]

Выполнив умножение и сложение, получаем:

\[
\sin(\alpha + \beta) = -\frac{21}{125} + \frac{96}{125} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}
\]

б) \( \cos(\alpha + \beta) \):

Для вычисления значения \( \cos(\alpha + \beta) \) используем формулу суммы углов:

\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) — \sin(\alpha)\sin(\beta)
\]

Подставим известные значения:

\[
\cos(\alpha + \beta) = \left( -\frac{3}{5} \right) \left( \frac{24}{25} \right) — \left( \frac{7}{25} \right) \left( \frac{4}{5} \right)
\]

Выполнив умножение и сложение, получаем:

\[
\cos(\alpha + \beta) = -\frac{72}{125} — \frac{28}{125} = -\frac{100}{125} = -\frac{4}{5}
\]

в) \( \cos(\alpha — \beta) \):

Для вычисления значения \( \cos(\alpha — \beta) \) используем формулу разности углов:

\[
\cos(\alpha — \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)
\]

Подставим известные значения:

\[
\cos(\alpha — \beta) = \left( -\frac{3}{5} \right) \left( \frac{24}{25} \right) + \left( \frac{7}{25} \right) \left( \frac{4}{5} \right)\]

Выполнив умножение и сложение, получаем:

\[
\cos(\alpha — \beta) = -\frac{72}{125} + \frac{28}{125} = -\frac{44}{125}\]

г) \( \tan(\alpha — \beta) \):

Для вычисления значения \( \tan(\alpha — \beta) \) используем формулу разности тангенсов:

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\tan(\alpha) — \tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha)\tan(\beta)}
\]

Подставим известные значения:

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\frac{7}{24} — \left( -\frac{4}{3} \right)}{1 + \left( \frac{7}{24} \right) \left( -\frac{4}{3} \right)}
\]

Выполнив операции, получаем:

\[
\tan(\alpha — \beta) = \frac{\frac{7}{24} + \frac{32}{24}}{1 — \frac{28}{72}} = \frac{\frac{39}{24}}{\frac{44}{72}} = \frac{117}{44} = 2 \frac{29}{44}
\]

Ответы:

• а) \( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \)
• б) \( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \)
• в) \( \cos(\alpha — \beta) = -\frac{44}{125} \)
• г) \( \tan(\alpha — \beta) = 2 \frac{29}{44} \)