ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1526 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите:

а) \( \sin(30^\circ + \alpha) \), если \( \sin(\alpha) = -\frac{3}{4} \) и \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \);

б) \( \cos(\alpha — 45^\circ) \), если \( \text{cis}(\alpha) = \frac{2}{3} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);

в) \( \sin(60^\circ — \alpha) \), если \( \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{3}} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \);

г) \( \tan(\alpha + 45^\circ) \), если \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \).

Найти значение:

а) \( \sin a = -\frac{3}{4}, \quad 180^\circ < a < 270^\circ; \)

\( \cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \frac{9}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}; \)

\( \sin(30^\circ + a) = \sin 30^\circ \cos a + \cos 30^\circ \sin a; \)

\( \sin(30^\circ + a) = -\frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{1}{2} — \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}}{8}; \)

б) \( \cos a = \frac{2}{3}, \quad 0^\circ < a < 90^\circ; \)

\( \sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}; \)

\( \cos(a — 45^\circ) = \cos a \cos 45^\circ + \sin a \sin 45^\circ; \)

\( \cos(a — 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{10}}{6}; \)

в) \( \cos a = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad 90^\circ < a < 180^\circ; \)

\( \sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}; \)

\( \sin(60^\circ — a) = \sin 60^\circ \cos a — \cos 60^\circ \sin a; \)

\( \sin(60^\circ — a) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{\sqrt{6} + 3}{6}; \)

г) \( \sin a = \frac{3}{5}, \quad 90^\circ < a < 180^\circ; \)

\( \cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}; \)

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}; \)

\( \tan(a + 45^\circ) = \frac{\tan a + \tan 45^\circ}{1 — \tan a \cdot \tan 45^\circ} = \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 + \frac{3}{4} \cdot 1} = \frac{1}{7}; \)

Задача:

Найдите:

а) \( \sin(30^\circ + \alpha) \), если \( \sin(\alpha) = -\frac{3}{4} \) и \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \);

Для нахождения значения \( \sin(30^\circ + \alpha) \), используем формулу для суммы углов:

Формула суммы синусов:
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \). Здесь \( A = 30^\circ \), а \( B = \alpha \).

Задано, что \( \sin \alpha = -\frac{3}{4} \), следовательно, для нахождения \( \cos \alpha \) применяем теорему Пифагора:
\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha \). Подставим значение \( \sin \alpha \):
\( \cos \alpha = -\sqrt{1 — \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{9}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4} \).
Здесь знак минус берется, потому что угол \( \alpha \) находится во второй четверти (где косинус отрицателен).

Теперь, подставим значения в формулу для \( \sin(30^\circ + \alpha) \):
\( \sin(30^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha \).

Значения для угла \( 30^\circ \):
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Подставим эти значения в формулу:
\( \sin(30^\circ + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{\sqrt{7}}{8} — \frac{3\sqrt{3}}{8} \).

Ответ:
\( -\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}}{8} \).

б) \( \cos(\alpha — 45^\circ) \), если \( \text{cis}(\alpha) = \frac{2}{3} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);

Для нахождения значения \( \cos(\alpha — 45^\circ) \), используем формулу для разности углов:
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \). Здесь \( A = \alpha \), а \( B = 45^\circ \).

Задано, что \( \text{cis}(\alpha) = \frac{2}{3} \), что означает, что \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \) и \( \sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).

Теперь подставим эти значения в формулу для \( \cos(\alpha — 45^\circ) \):
\( \cos(\alpha — 45^\circ) = \cos \alpha \cos 45^\circ + \sin \alpha \sin 45^\circ \).

Значения для угла \( 45^\circ \):
\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим эти значения:
\( \cos(\alpha — 45^\circ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{10}}{6} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{10}}{6} \).

Ответ:
\( \cos(\alpha — 45^\circ) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{10}}{6} \).

в) \( \sin(60^\circ — \alpha) \), если \( \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{3}} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \);

Для нахождения значения \( \sin(60^\circ — \alpha) \), используем формулу для разности углов:
\( \sin(A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B \). Здесь \( A = 60^\circ \), а \( B = \alpha \).

Задано, что \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{3}} \), следовательно, для нахождения \( \sin \alpha \), используем теорему Пифагора:
\( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \), так что
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3} \), так как \( \alpha \) находится в второй четверти (где синус положителен).

Теперь подставим эти значения в формулу для \( \sin(60^\circ — \alpha) \):
\( \sin(60^\circ — \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha — \cos 60^\circ \sin \alpha \).

Значения для угла \( 60^\circ \):
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Подставим эти значения в формулу:
\( \sin(60^\circ — \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) — \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6} + 3}{6} \).

Ответ:
\( \sin(60^\circ — \alpha) = -\frac{\sqrt{6} + 3}{6} \).

г) \( \tan(\alpha + 45^\circ) \), если \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \);

Для нахождения значения \( \tan(\alpha + 45^\circ) \), используем формулу для тангенса суммы углов:
\( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 — \tan A \cdot \tan B} \). Здесь \( A = \alpha \), а \( B = 45^\circ \).

Задано, что \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), следовательно, для нахождения \( \cos \alpha \), используем теорему Пифагора:
\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \), так что
\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \), так как \( \alpha \) находится в второй четверти (где косинус отрицателен).

Теперь, вычислим \( \tan \alpha \):
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}; \)

Теперь подставим значения в формулу для \( \tan(\alpha + 45^\circ) \):
\( \tan(\alpha + 45^\circ) = \frac{\tan \alpha + \tan 45^\circ}{1 — \tan \alpha \cdot \tan 45^\circ} = \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 + \frac{3}{4} \cdot 1} = \frac{1}{7}; \)

Ответ:
\( \tan(\alpha + 45^\circ) = \frac{1}{7} \).